有限元方法的基本理论

第二节　有限元方法的基本理论

有限元法是一种有效的离散化数值计算方法，它广泛应用于土木工程、航空、水利、流体力学、机械等连续性问题。伴随计算机科学技术的发展，它在科技和工程领域得到了越来越广泛的应用，由于有限元方法的通用性和有效性，这种数值方法的应用范围和领域必将被进一步拓宽和高度重视。

一、基本原理及特点

有限单元法的基本原理是将连续的求解区域离散为一组有限个单元且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模块化几何形状复杂的求解域，这样的组合体能模拟或逼近求解区域。由于单元可以有不同的联结方式，且单元本身可以有不同的形状，因此有限元可用于几何形状复杂的求解域。有限元利用每一个单元内的近似函数来表示整个求解区域上的未知场函数，单元内的近似函数通常由未知场函数在各个单元节点上的数值和插值函数来表达，在求出节点上的值后，就可以利用插值函数确定单元组合体上的场函数，这样就将一个连续无限自由度的问题转换成离散的有限自由度问题。随着单元数目的增加，解的近似程度不断改进。如果单元满足收敛要求，近似解将收敛于精确解。它具有下面一些显著的优点：

1.它便于处理复杂的边界条件　以简单逼近复杂，把原本复杂的求解区域分成一个一个的单元，在相对简单的单元内建立公式，然后总体合成，逼近真实解。

2.便于解决不均质材料或各向异性材料的问题　特别适合求解具有复杂几何形状的问题，因为它不必用正交网格计算。

3.能处理材料非线性和几何非线性问题并能解决结构动力问题　虽然它开始是用来研究复杂的飞机结构中的应力的，但现在已应用到绝大多数学科领域的工程计算问题。

4.适合计算机编程实现　采用矩阵的形式表达，它便于编制灵活、通用的计算机程序，能被广大工程技术人员很方便地用来解决他们所面临的各种各样的工程实际问题。

有限元法已从弹性力学平面问题扩展到了空间问题，从静力平衡问题扩展到动态问题，有限元模型在三维建模上的应用日益扩大，许多研究展示了其优越的性能。

二、有限元法的步骤

伴随着计算机科学技术的快速发展，有限元法已是一种十分有效的数值方法，具有通用性和有效性，它能实现三种功能：参数定义、实体建模与网格划分。由于有限元方法的应用和领域的进一步拓宽，使其越来越受到高度重视。

有限元法分析和计算一般分为如下几个步骤：

1.建立求解域并将之离散化成有限元　即将问题分解成节点和单元。用网格将求解区域分为若干小块，即分成有限个单元，这是进行有限元分割的第一步。

2.假设代表单元物理行为的形函数　即假设代表单元解的近似连续函数。有限元采用分片近似，只需对一个单元选择一个近似位移函数，而不必对整个求解域选择函数。特别复杂性的几何形状，采用近似函数就显得更为合理。

3.对单元建立方程，分析单元的力学特性　应用物理直接法、变分原理和加权余数法中任一种，来确定单元的矩阵方程，导出单元刚度矩阵是单元特性分析的核心内容。

4.将单元组合成总体的问题　构造总体刚度矩阵，应用边界条件、初值条件和载荷。集合所有单元的平衡方程，以建立求解问题的平衡方程组。一是将各个单元和刚度矩阵集合成整个的刚度矩阵阵，二是将作用于各单元的等效节点力矩阵集成总体载荷列阵。

5.求解总体微分方程组　以得到节点的值。

6.其他　根据需要，得到其他重要信息。

如已求得节点位移，再根据位移与应变、应力关系求出应变与应力，速度、流量等。

三、有限元法的剖分逼近概念及离散化

求解区域的离散化（结构离散）是进行有限元分割计算的第一步。剖分逼近即离散化概念是有限元法中最基本的概念。即把实际问题的整体求解域剖分为有限个基本单元，这可以通过有限个互不重叠的三角形、四边形或多边形等来分割求解区域。

所谓离散化，即由无限个质点组成的连续体转化为有限个单元组成的集合体。这些单元越小，越逼近原连续的求解域。如单元数目足够大，总可以逼近原连续求解域，这种离散就可达到化无限为有限、化难为易的效果。

结构的离散化是有限单元法分析的第一步，它是有限元法的基础。离散化的过程，简单地说，就是将分析结构物划分成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，把相邻的单元体在结点处连接起来组成单元的集合体，以代替原来的结构。