阿基米德力学

古希腊的物理学经历了从猜测到实验、从定性到定量的发展过程，身兼数学家和力学家的阿基米德（约公元前287年—前212年）是古希腊实验定量研究的杰出代表。

阿基米德生于南意大利西西里岛的叙拉古，他父亲是一位天文学家，这使阿基米德从小就学到了许多天文知识。青年时代，他来到古代世界的学术中心亚历山大城。在这里，他就读于欧几里得的弟子柯农门下，学习几何学。几年之后，他又回到了故乡叙拉古。阿基米德的伟大在于他不仅在数理科学上取得辉煌的成就，而且在工程技术上也颇多建树。

阿基米德在在力学研究中，给出了确定许多平面形和立体形重心的方法，建立了杠杆定理，发现了浮体定律，提出了相对密度的概念，为静力学尤其是流体静力学奠定了基础，被誉为古代“力学之父”。

阿基米德在他的力学中，常常首先通过实验和观察得出结论，然后运用演绎的方法，做出数学的严密论证，把实验的经验研究方法同几何的演绎推理形式第一次联系在一起，使他的力学成为古希腊自然科学的一种典型。

阿基米德生活的时代，由于生产、商业及战争的需要，造船、建筑和军事工程都得到了迅速的发展，起重机、投掷石弹的投石机，以及为货物交换而制造的天秤，都广泛利用起来。在使用和制造这些工具的过程中，人们已经懂得了杠杆作用的原理，但是在阿基米德之前，还没有总结成定律。阿基米德从重心的观点出发，对杠杆的平衡条件进行了数学证明。并确定了三角形、平行四边形、梯形、抛物线弓形等平面图形的重心，写出了《论平板的平衡》的科学著作。阿基米德用数学公理的方式提出的杠杆原理，即杠杆如平衡，则支点两端力（重量）与力臂长度的乘积相等。在这里，重要的是建立杠杆的概念，其中包括支点、力臂等概念。对于一般的平面物即平板，为了使杠杆原理适用，阿基米德还建立了“重心”的概念，有了重心，任何平板的平衡问题都可以由杠杆原理解决，而求重心又恰恰可以归结为一个纯粹几何学的问题。

在《论平板的平衡》中，阿基米德将杠杆原理总结成如下的定理：^[12]

重量相等的重物，加在离支点距离相等的无重杆上是平衡的。

重量不相等的重物，加在离支点距离相等的无重杆上，杆子就倾向重的一面。

重量相等的重物，加在离支点距离不相等的无重杆上，杆子就倾向离支点远的一端。

一组重物，可用等重的一个重物来代替，只要这个重物的重心是在这一组重物重心的位置上。相反，一个重物，可用一组等重的重物代替，只要这一组重物的重心在这个重物重心的位置上。

面积不相等但有相似形状的几何图形的重心，在它相似图形相应的位置上。

杠杆原理解释了为什么人可以用一根棍子抬起很大的石头，对此，阿基米德有一句名言：“给我支点，我可以撬动地球。”据说，国王希龙对此话生疑。有一次，希龙王造成了一艘大船，可是，无论如何也没法下水。正当大家对这个难题感到束手无策的时候，阿基米德却对希龙王说：“我替你将这按大船拉到水里去吧。”国王听了非常高兴，立即表示同意。阿基米德设计了一套复杂的杠杆滑轮系统安装在船上，将绳索的一端交到希龙王手上。希龙王轻轻拉动绳索，奇迹出现了，大船缓缓地挪动起来，最终下到海里。国王惊讶之余，十分佩服阿基米德，并派人贴出告示：“今后，无论阿基米德说什么，都要相信他。”

有关浮力定律的传说更为人熟知。相传希龙王叫工匠做一顶纯金王冠。金王冠做得极其精致，可是有人告发说，工匠在制作王冠时用银子偷换了金子。国王叫阿基米德想办法在不损害王冠的情况下查明王冠里是否掺了假。于是，阿基米德便冥思苦想，考虑如何解决这个难题。有一天，希龙王要阿基米德到皇宫去报告他研究的情况，因为长期的思索问题，阿基米德已很久没有洗澡，就决定洗个澡以后再去。他到浴室去洗澡，澡盆里的水已满到了盆口，进入澡盆的时，水就溢出盆外。同时，他感觉到入水愈深，他的体重就愈轻，而水也一直不断地溢出，直到他全身入水时，水才停止外溢。他忙走出盆外，看见水已经不与盆口相齐，而少了一些。就从这个日常生活常见的极其平常的现象里，他忽然顿悟到一个极其重要的科学原理，找到了解决金王冠问题的办法。当时他惊喜若狂，澡也不洗了，衣服也没穿就光着身子跑往皇宫向希龙王报告去了。他一边跑还一边狂呼“尤里卡（希腊语：发现了），尤里卡”，喊出了人类探寻到大自然奥秘时的惊喜。正是为了纪念这一事件，现代世界最著名的发明博览会以“尤里卡”命名。

阿基米德找到了什么？总括起来就，他找到了两个事实：一是把物体浸在任何一种液体中时，液体所排开的体积，等于物体所浸入的体积；二是物体所受到的液体浮力（即物体在液体中所失去的重量），必等于所排开的液体的重量。物体在液体中是浮在液体表面上，或沉在液体底下，就取决于物体的重量是小于这个浮力（此时物体浮在液体表面上）或大于这个浮力（此时物体沉在液体中）。这就构成“浮力原理”。阿基米德根据这个原理，成功地解决了王冠的秘密。因为他知道不同的物体密度不同，同体积的两种不同物体，重量就不相同。相反，重量相同的两种不同物质，密度大的体积就小，密度小的体积就大。他将与金王冠等重的一块金子、一块银子和金王冠分别放在水中，金块排出的水就比银块排出的水少，而王冠排出的水在这两者之间，这就证明了王冠不是纯金的。他又利用数学计算，确定了王冠中掺了银子，并将掺入金王冠中的银子的重量精确地计算了出来。在这位大科学家的面前，工匠只得承认在金王冠中掺入银子的事实，而且数量与阿基米德计算的结果完全一样。

在数学方面，阿基米德的主要贡献是关于求面积和体积的工作。从阿基米德开始，或者说从阿基米德为代表的亚历山大里亚的数学家开始，算术和代数开始成为一门独立的数学学科，而此前的希腊数学不重视算术计算。阿基米行着重研究了一些形状比较复杂的面积和体积的计算方法，如球体面积、体积与其外切圆柱的面积、体积之比；求抛物线所围面积和弓形面积的方法等。他应用穷竭法解决了许多求面积和体积的难题，在计算螺线所围面积时所用的方法已非常接近微积分的方法了。所谓穷竭法，就是用内接和外切的直边形不断逼近曲边形，这是近代极限概念的直接先驱。运用穷竭法，阿基米德从正6边形开始一直计算到正96边形周长，得到，取两位小数得π=3.14 。