偏度和峰度

第二节　数据分布状态测量:偏度和峰度

描述统计总体分布的状况，除了用各种趋中和离中趋势指标外，在许多场合还利用统计分布的偏度和峰度指标直接表示，即频数分布曲线对于正态分布的左右偏差和高低偏差。要计算这些指标一般要计算中间指标——矩或动差。

K阶矩(也称动差)是物理学上用来表示力和力臂对重心关系的术语，也是一系列刻画数据分布特征的指标的称呼。一般将变量值与数值α之离差的k次方的平均数称为变量x关于α的k阶矩。当α=0称为关于k阶原点矩，称为关于k阶中心矩m_k。

一阶原点矩是算术平均数，二阶原点矩是平方平均数；而零阶中心矩m₀为1，一阶中心矩m₁为0，二阶中心矩m₂就是方差σ²。

一、偏度

偏度(Skewness)是反映数据分布左右不对称性或偏斜程度的一个数字特征，用变量的三阶中心动差除以标准差的三次方表示，用公式表示为:

当分布曲线左右完全对称时，三阶中心动差m₃等于0。当分布不对称时，则三阶中心动差m₃不为0，其分布的偏斜程度使sk大于0或小于0。当sk=0时为正态分布；当sk＞0时为正偏(右偏)斜；当sk＜0时为负偏(左偏)斜。

二、峰度

峰度(Kurtosis)是以正态分布为标准，描述该分布密度的形状为陡峭还是平坦的一个数字特征。当数据为正态分布时峰度为零。峰度指标Kur的计算公式如下:

分布曲线的尖峭程度与偶数阶中心矩m的数值大小有直接的关系，σ²是方差，以四阶中心动差m₄度量分布曲线的尖峭程度。m₄含有计量单位，其计量单位同σ⁴。为消除计量单位的影响，将m₄除以σ⁴，就得到无量纲的相对数。由于衡量分布的集中程度或分布曲线的尖峭程度是以正态分布的峰度作为比较标准的，在正态分布条件下，该值为3，将各种不同分布的尖峭程度与正态分布比较，即m₄除以σ⁴减3，就得峰度指标Kur的测定公式。

当峰度指标Kur＞0时，表示分布比正态分布更集中在平均数周围，分布呈尖峰状态；Kur=0时为正态分布；Kur＜0时，表示分布比正态分布更分散，分布呈低峰分布。