单整序列数据的差分性质

单整序列数据的差分性质

龚　益

一、单整性与单整过程的定义

单整性，是指称单一随机过程非平稳程度的术语。首先讨论单整过程的定义。

设有模型如

定义随机过程{y_t}，若其分布函数具有时不变性，即在某一时段的联合分布函数不随时段变换而改变的过程为严格平稳过程。

由(1.1)式不难看出，{y_t}不是平稳过程，但其一次差分{Δy_t}，即式(2)，却是平稳过程。两式之间的差异在于(1.1)式中的白噪声误差之和项。由于该项类似于连续函数中的一重积分，我们便称形如(1)式中的{y_t}过程为一阶单整过程，记作I(1);并称{Δy_t}过程为0阶单整过程，记作I(0)。平稳过程是0阶单整，即I(0)过程。

一般地，若一随机过程{y_t}为I(n)，即n阶单整过程，其一次差分{Δy_t}就是I(n－1)过程，其二次差分{Δ²y_t}就是I(n－2)过程。而其n次差分{Δⁿy_t}就是I(0)过程。观察数据图形，I(0)过程通常振荡无常状，I(1)过程比较平坦略有波动，I(2)过程通常呈现一定的趋势状态。在实践中，我们一般很难确定经济时序的单整阶数，而只能根据时序的样本信息用较为接近的I(n)过程来近似描述它们。^[1]

二、单整过程与等差数列的关系

注意到所谓单整过程与数学中等差数列的关系。对n阶等差数列进行差分，其过程产生的结果即为n－1阶数列。显然，对单整过程的时序数据，可以理解为加入了随机误差项的等差数列，单整之阶次与等差数列的阶次可以对照呼应。

按等差数列的定义，如果数列从第二项开始，每一项与前一项的差为常数d，称为“等差数列”，d称为“公差”。公差d大于0的等差数列称为1阶等差数列。记作{A¹(d)}。当公差d=0时，{A¹(d)}退化成为{A¹(0)}，数列内所有元素相等。显然，如果考虑对应于数列{A¹(0)}当中的每一元素a_i=a分别加上随机误差项ε_t，则数列可表为截距水平在a的随机过程。这是一个I(0)过程。

对于{A¹(d)}，d＞0，若取数列当中各元素a_i(a_i=a_i－1+d)之平方构成另一数列，即得到一个2阶等差数列。记作{A²(D)}。陈列{A²(D)}可知，直观上这个数列已经不再是等差数列。即a_i－a_i－1≠a_i+1－a_i。但是，对{A²(D)}进行一次差分得到的新数列{A^2－1(D)}，则是公差为D的1阶等差数列。此时D=dⁿn!(龚益，1997)。我们称D为n阶等差数列的公差(广义公差，或隐蔽公差)。虽然通过上述方法，对相应1阶等差数列内元素进行n次方运算得到的n阶等差数列只是n阶等差数列的特例，但是从中可以观察到相应1阶等差数列的公差d，与对应n阶等差数列公差D之间的变换关系。换句话说，我们可以了解所谓高阶等差数列，即阶次n＞1的数列，在直观上并非等差。在高阶情况下，数列之等差是隐蔽行为。阶次越高，等差之差隐蔽越深。高阶等差数列(或n阶等差数列)是等差数列的普遍形式，一阶等差数列是n阶等差数列当n=1时的特例。一阶等差数列具有常数公差d。对n阶等差数列而言，各相邻项的差乍看起来并不相等，只在第n－1次差分(后项减去前项)时才是常数。定义这个常数为n阶等差数列的公差，记作D。由于n阶等差数列的公差D不能从原数列中直接观察得出，故称其为隐蔽公差。高阶等差数列之“等差”即源于此。高阶等差数列的公差虽然“隐蔽”却是“确定的”。

三、等差数列的隐蔽公差

值得注意的是，以往所见关于等差数列的讨论，大多围绕其一阶情况展开。有些常见的关于等差数列的定义，包括《辞海》^[2]以及《数学辞海》^[3]中的定义，也仅仅适用于一阶条件的假定，不能确切涵盖等差数列的高阶(二阶及以上)情况。为了适应相关研究与实践的发展，有必要重新提起关于“等差数列”术语的定义问题，给出关于等差数列的一个具有普适性的术语:隐蔽公差，或广义公差。为此，笔者提出关于术语“隐蔽公差”的定义:

在等差数列中，需要经过一次以上差分运算才能观察得到的高阶等差数列的公差称为“隐蔽公差”，记作D。高阶等差数列具有数值确定的隐蔽公差。^[4]

可以认定，所谓n阶单整过程，在其本质上是一个n阶等差数列与随机过程组合的共同结果。差分运算在获得I(0)结果的同时，消除了I(n)序列数据当中包含的n阶等差因素。对于一个n阶单整序列来说，究竟需要经过几次差分运算才能实现I(0)，完全取决于序列当中等差数列的阶次。

四、关于时间序列数据性质的进一步探讨

关于上述结果，还有更多的问题可以进一步探讨，例如:

B.通常关于等差数列的讨论只在整数条件下进行，即公差或差值(非等差条件)d为整数。以上讨论均暗含这个约束条件。若d不限为整数，便相当于在公差项上存在有随机作用，即d_i=d+ω时，情况则有变化。如果更进一步，不限制d值范围和正负，需要考虑分析的问题更多，需要更进一步的深入研究。

C.随机过程作用于数据序列的方式，是否仅为算术当中的加法形式?如果随机因素是以乘法形式或其他形式发生作用，其表现如何?

D.由哥德尔序列数定理:对每一个a和一个数列a₁，…，a_n(a_i＜a)，存在唯一的b，满足:b＜(1+n!a_i)，且a_i=R_m(b，1+n!a_i)，i=1，…，n。其中R_m(b，c)是b除以c的最小非负余数。^[5]这个结论在对n阶单整序列数据非随机成分的分析中是否存在价值?

(原载《数量经济技术经济研究》2003年第7期)

【注释】

[1]D.F.韩德瑞、秦朵:《动态经济计量学》，上海人民出版社1998年版，第51页。

[2]《辞海》，上海辞书出版社1999年缩印本(音序)，第540页。

[3]《数学辞海》(第一卷)，山西教育出版社2002年版，第110页。

[4]龚益:《n阶等差数列的隐蔽公差》，《科技术语研究》2005年第4期，第36～39页。

[5]胡久稔:《数林掠影》，南开大学出版社1998年版，第264页。