旋转曲面方程的求法具体内容分析

旋转曲面是高等数学重要的内容之一，但在许多教材中，只讲述了坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得到的旋转曲面，未涉及空间曲线绕空间直线旋转所得到的旋转曲面，为了使旋转曲面方程的求法多样化，应用方便，因此，给出如下方程求法.

定理4.3.1 设空间曲线Γ的方程为，空间定直线l的方程为，如果由含参数t1，t2，t3的方程组

图4－1

消去参数t1，t2，t3，得方程H（x，y，z）＝0，则空间曲线Γ绕空间直线l旋转所得到的旋转曲面方程为H（x，y，z）＝0.

证 设点M（t1，t2，t3）是母线Γ上的任意点，如图4－1所示，那么过点M的纬圆总可以看成过点M且垂直于旋转轴l的平面与以p0（x0，y0，z0）为中心，为半径的球面的交线，所以，过点M（t1，t2，t3）的纬圆方程为

当点M跑遍整个母线Γ时，就得到了所有的纬圆，这些纬圆就构成了旋转曲面.

又点M（t1，t2，t3）在母线Γ上，故应有所以，由

消去参数t1，t2，t3得到的方程H（x，y，z）＝0，就是以空间曲线Γ为母线，空间直线l为旋转轴的旋转曲面的方程.

如果l为z轴时，则X＝Y＝0，Z≠0且x0＝y0＝0，则此时由方程（4－5）得t3＝z，由方程（4－6）得

如果由可得到，则方程（4－7）变为x2＋y2＝φ2（z）＋ψ2（z）.此方程就是曲线Γ绕z轴旋转所得到的旋转曲面的方程.因此，得到如下结论.

推论4.3.1 设空间曲线Γ的方程为，如果可解出，则曲线Γ绕z轴旋转所得到的旋转曲面的方程为x2＋y2＝x2（z）＋

推论4.3.2 设空间曲线Γ的方程为，如果可解出，则曲线Γ绕y轴旋转得到的旋转曲面的方程为x2＋z2＝x2（y）＋z2（y）.

推论4.3.3 设空间曲线Γ的方程为，如果可解出，则曲线Γ绕x轴旋转所得到的旋转曲面的方程为y2＋z2＝y2（x）＋

如果曲线Γ是yOz坐标面上的曲线，则t1＝0，所以就可用其中一个方程F（t2，t3）＝0表示.因此，含有两参数t2，t3的方程组

消去参数t2，t3得到的方程H（x，y，z）＝0就是平面曲线Γ绕直线l旋转所得到的旋转曲面方程.

如果l为z轴，此时，x0＝y0＝0，X＝Y＝0，Z≠0，上方程组变为

由Z（z－t3）＝0得t3＝z，所以，得方程组

故此，.将代入F（t2，t3）＝0得就是平面曲线Γ：F（y，z）＝0绕z轴旋转所得到的旋转曲面方程.

同理可得平面曲线F（y，z）＝0绕y轴旋转所得到的旋转曲面方程同样平面曲线F（x，y）＝0绕x轴、y轴旋转所得到的旋转曲面方程分别为和