旋转曲面的初步探讨主要内容介绍

旋转曲面是高等数学的重要内容之一，但在许多教材中，只讲述了坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得到的旋转曲面，未涉及空间曲线绕空间直线旋转所得到的旋转曲面，更没有旋转曲面面积及围成立体的体积求法，因此，就此作初步探讨.

定理4.4.1 设空间简单光滑曲线Γ的方程为空间定直线l的方程为如果由方程组可解出（c≤z≤d），则曲线Γ绕直线l旋转所得到的旋转曲面：

（1）面积

（2）围成立体的体积

证 （1）取z为积分变量，则其变化范围为［c，d］，相应于［c，d］上任一小区间［z，z＋dz］对应的小弧段长近似于而曲线Γ上点（x（z），y（z），z）到l的距离为

故小弧段绕直线l旋转所得到的曲面小圆环侧面积近似于

即面积元素

以dA为被积表达式在［c，d］上作定积分得

（2）由于曲线Γ上的任意点（x（z），y（z），z）到直线l的距离为

故沿直线l积分时有，故旋转曲面围成立体的体积元素

为

所以，

如果l为z轴时，则X＝Y＝0，Z≠0且x0＝y0＝0，上面的面积公式和体积公式就分别变为

于是得到如下结论.

推论4.4.1 设空间简单光滑曲线Γ的方程为，如果可解出则曲线Γ绕z轴旋转所得到的旋转曲面：

（1）面积

（2）围成立体的体积

推论4.4.2 设空间简单光滑曲线Γ的方程为，如果可解出，则曲线Γ绕x轴旋转所得到的旋转曲面：

（1）面积

（2）围成立体的体积

推论4.4.3 设空间简单光滑曲线Γ的方程为如果可解出，则曲线Γ绕y轴旋转所得到的旋转曲面：

（1）面积

（2）围成立体的体积

如果曲线Γ是yOz坐标面上的曲线，则x＝0，所以就可用其中一个方程F（y，z）＝0表示，如果解出y＝y（z）（c≤z≤d），那么曲线Γ的参数方程可认为是，则平面曲线Γ绕直线l旋转所得到的旋转曲面的面积和曲面围成立体的体积分别为

如果l为z轴，此时，x0＝y0＝0，X＝Y＝0，Z≠0，则平面曲线Γ绕z轴旋转所得到的旋转曲面的面积和曲面围成立体的体积分别为如果曲线Γ的方程

同样不难得到曲线Γ绕直线l旋转所得到的旋转曲面的面积和曲面围成立体的体积公式.