你们知道-1的平方根是什么吗？

（数学，牛津）

-1的平方根或许是数学里最难捉摸的一个数字。几千年来，历史上所有的伟大数学家都在不懈地努力钻研这个难题，但至今仍然没有人能彻底解决它。当然，这个问题并不仅仅局限于-1，还适用于所有负数。平方根是平方的逆运算：3 × 3 = 9，则9的平方根为3；2 × 2 = 4，则4的平方根为2；1 × 1 = 1，则1的平方根为1。但是该定义并不适用于负数，因为两个负数相乘结果为正数，如（-2）×（-2） =（+）4，（-1） × -1 =（+）1。

那么，负数的平方根到底应该如何计算呢？答案是无法计算，数学家用字母“i”来表示它，这是英语单词imaginary的缩写，意为-1的平方根是一个“想象的数字”，中国人将其命名为“虚数”。实际上，或许称之为 “不可能的数字”、“荒谬的数字”，或者干脆叫“傻瓜数字”更为合适，因为这样的数似乎根本就不存在。但今时今日，我们似乎又离不开虚数，因为虚数对于先进的量子科学、飞机机翼和悬索桥设计都非常重要。之所以说这些数字是“想象出来的”，那是因为我们无法用它来标签任何实际数字。但与此同时，它们又是“真实存在的”，因为虚数也是真实世界的一个组成部分。这就构成了一个悖论：虚数既是想象出来的又是真实存在的，既是不可能的又是可能的。

古埃及人很早就发现了这一模棱两可的概念。大约两千多年前，伟大的古希腊数学家亚历山大港的希罗（Hero of Alexandria）在计算金字塔尖部分体积的时候就遇到过这个问题。在计算的过程中，希罗需要知道81-144的平方根是多少，答案当然是但是因为平方根下的数字为负数，因此无法进行下一步计算。于是希罗直接去掉负号，表示计算结果为这当然是不对的，但是除此之外希罗还能有什么别的办法呢？要知道，在他那个时代，人们对负数这一概念尚且持保留态度，完全无法接受负数的平方根。

中世纪的数学家们在解三次方程的时候也会遇到这个问题，但他们直接将负数的平方根归为“不可能数字”这一类别。看来是时候让局外人出面解决这个让数学家束手无策的无解难题了。果然，最终打破这个僵局的竟然是意大利声名狼藉的星相家卡尔达诺（Girolamo Cardano）。他后来荣升梵蒂冈的御用星相专家，此前早在1545年就已经在其论著《大术，或论代数法则》（Ars Magna）中探究-1的平方根这一数学难题。他认为这种数字的存在是可能的，但同时也认为它毫无用处。

意大利数学家邦贝利（Rafael Bombelli）在1572年出版的《代数学》中对负数所持的态度则更加积极，证明了两个虚数相乘其结果永远为实数。他开始也对此有过疑问，曾在书中这样写道：“整件事情看上去似乎很像是诡辩，似乎并未建立在事实的基础之上。但是经过长期的钻研，我最终还是证明了这个事实。”

此后的两个世纪里，很多数学家都对这个问题表达了自己的观点，有些接受负数的平方根这一概念，有些则拒绝接受。后来，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）在晚年以过人的才华最终解决了这一难题。他引入了“虚数单位”这一概念，用字母“i”表示-1的平方根这一虚数。因此，就等于i，方程式中任何负数的平方根均可用i 乘以该数的平方根来表示。此外，欧拉还表示，虽然等负数的平方根均为虚数，但“虚”并不等于“无”，不等于没有意义，这只不过是一个数学概念而已。

用符号 i 表示虚数，这个解决方案十分简单，同时也非常聪明，让数学家得以在方程式中使用以及其他负数的平方根进行运算。用 i 这一虚数单位来表示负数的平方根，这就意味着数学家不再需要解决虚数的根本属性这一问题，只需将其作为实用工具加以运用即可。

尽管如此，原来的悖论实际上仍然继续存在。欧拉虽然发明了虚数单位并用“i”这一符号使虚数成为一种现实，但他同时也承认虚数是不可能存在的。他在书中写道：“我们可以认为虚数并非‘无’，既不比‘无’大，也不比‘无’小，因此只能是想象的或者不可能的。”虽然有很多人对其理论表示怀疑，这并没有使欧拉动摇。他认为，如果在数学上行得通，那么虚数和实数一样就都具有同样的真实性。

欧拉所带给我们的启发是：在不同领域进行探索研究的时候，我们有时并不需要掌握所有的答案。虚数的本质是什么以及-1的平方根到底是多少，这些难题或许会一直成谜，但这并不意味着我们无法使用这一概念。牛顿基于同样的大胆和魄力用纯数学概念的方式提出了万有引力理论，他并未假装自己真的了解物体在一定距离内到底是如何运动的。时至今日，我们还是不知道引力的具体运作原理，但这并不妨碍牛顿所提出的万有引力定律成为构建科学理论体系的重要基石之一。同样道理，虽然虚数单位总的来说仍然是一个谜，但它们在实际应用中具有极高的价值，是当今大部分数学家所熟悉的应用工具。此外，这一概念的存在也证明了想象与数学逻辑并非水火不相容的两极。