证券投资多样化与组合构成的分析介绍

现代证券投资理论主要由投资组合理论、资本资产定价模型和套利定价模型组成。其中马科维茨的投资组合理论说明了如何度量单一资产和资产组合的风险及预期收益，解释了投资者应当如何构建有效的证券组合并从中选择出最佳的证券组合。

（一）组合的含义

1.组合的定义

在实际生活中，投资者很少将所有的财富投资于一种证券上，而是构建一个证券组合，这种组合就是由两种或者两种以上资产构成的整体投资方案。

2.投资组合与分散风险

证券组合的风险不仅取决于单个证券的风险和投资比重，还取决于两个证券收益的协方差和相关系数，而协方差和相关系数起着特别重要的作用。因此，投资者建立的证券组合就不是一般的拼凑，而是要通过各证券收益波动的相关系数来分析。

不管组合中证券的数量是多少，证券组合的收益率只是单个证券收益率的加权平均数，分散投资不会影响到组合的收益率。但是分散投资可以降低收益率变动的波动性。各个证券之间收益率变化的相关关系越弱，分散投资降低风险的效果就越明显。

（二）分析的假设

1.忽略市场交易成本

证券市场是有效的，不存在交易费用、税收等市场摩擦。

2.信息是免费的

3.投资者评价信息的方法是一致的

证券收益率是服从正态分布的随机变量，所有投资者对信息的看法是一致的，投资者期望获得最大收益，但是他们不喜欢风险，是风险厌恶者。

4.投资者仅关注他们所投资的期望收益和风险

投资者采用均值—方差框架分析，利用预期收益率和方差（或标准差）来衡量投资者效用的大小，利用方差（或标准差）来衡量风险的大小。

投资者建立证券组合的依据是：在既定收益水平下使风险最小；或者，在既定风险水平下使收益最大。

5.投资者持有资产相应的一段时期

（三）风险与期望收益的转换

1.单个证券的预期收益与风险的衡量

【例3－4－1】　假定某位投资者认为今年该国的经济状况和宏观经济政策包含4种可能性：利率高企伴随的经济衰退；经济衰退，但利率将下降；利率高企，但经济高速增长；经济高速增长，但利率将下降。并且他认为这4种可能性的概率分别是0.20、0.25、0.30和0.25。然后，他根据4种可能的经济状况和宏观积极政策，对所投资的3种股票的未来的价格和可能分配的股息进行预测，结果见表3－4－1。

表3-4-1　可能的经济状况与投资的收益率

为了计算这3种股票投资的预期的收益率，可以用以下公式：

其中：πs是某种可能出现的状况的概率，ris是针对某种可能出现的状况股票的可能的收益率。根据表3－4－1中的数据，第1种股票的预期的收益率等于

E（r1）＝（－18%）×0.2＋16%×0.25＋12%×0.30＋40%×0.25＝14%

同理可以计算第2和第3种股票的预期的收益率，见表3－4－2。

表3-4-2　股票的预期的收益率

从预期收益率的计算公式可以发现，它是一个以概率为权数的加权平均数。根据预期的收益率，资产的预期的风险，即方差和标准差的计算公式如下：

【例3－4－2】　表3－4－2中的第1种股票的方差和标准差分别等于

σ21＝（－18%－14%）2×0.2＋（16%－14%）2×0.25＋（12%－14%）2×0.30

＋（40%－14%）2×0.25＝0.037　6

σ1＝＝19.39%

将单一资产预期的收益和风险的公式汇总在表3－4－3。

2.证券组合预期收益与风险的衡量

资产组合的风险与收益的衡量公式汇总在表3－4－4。

表3－4－3　单一资产收益与风险的衡量

表3－4－4　组合的风险与收益的衡量

其中：Wi、Wj是第i种和第j种资产在组合中所占的权重，Covij代表第i种和第j种资产收益率的协方差，也可以用σij。＊代表在展开式中含有协方差的项数。对于含有n种资产的组合，＊等于

【例3－4－3】　假定某一组合包含两种股票A和B。在2002年初，A和B两种股票的市场价值分别等于60元和40元，那么该组合在2002年年初的市场价值就等于100元。假定这两种股票在2002年都不派息，并且在2002年年底A、B股票的市场价值分别上升到66元和48元，即组合的市场价值上升到114元。根据第一节收益率的计算公式，该组合在2002年的收益率等于14%，即

根据组合的收益率的计算公式，我们可以获得同样的结论，即

rpt＝rAtWAt＋rBtWBt＝10%×0.60＋20%×0.40＝14%

其中

（四）两种风险资产的组合

1.两种风险资产组合的期望收益及计算

假设证券组合中只含有两种证券：证券1和证券2，x1、x2分别代表两者在组合中所占的比例，x1＋x2＝1分别代表两者的预期收益，σ1、σ2分别代表两者的标准差，ρ12代表两者的相关系数。根据以上内容和概率论的数学知识，我们得到两种风险资产组合的期望收益公式为

2.两种风险资产组合的风险

同样我们可以得到用方差衡量的风险计算公式：

3.两种风险资产组合方差的计算

在公式（3－4－5）中，我们分别假设两种风险资产的相关系数ρ12＝1，0，－1，可得

由此可见，当相关系数从－1变化到1时，证券组合的风险逐渐增大。当ρ＝1时，σρ最大，证券组合的风险等于组合中两种证券风险的加权平均数；当ρ＝－1时，σρ最小，并且在满足一些特殊条件时，σρ可以降为0。

由此可知，除非相关系数等于1，二元证券投资组合的风险始终小于单独投资这两种证券的风险的加权平均数，即通过证券组合，可以降低投资风险。

4.两种资产组合标准差的计算

【例3－4－4】　假定投资者选择了A和B两个公司的股票作为他的组合对象，有关数据如下：

当xA＝xB＝时，该证券组合的预期收益和风险分别为

当ρAB＝1时，σP＝0.06

当ρAB＝0时，σP＝0.045

当ρAB＝－1时，σP＝0.02

当xA＝1／3，xB＝2／3时，该证券组合的预期收益和风险分别为

当ρAB＝1时，σP＝0.053

当ρAB＝0时，σP＝0.038

当ρAB＝－1时，σP＝0

可见，无论xA、xB取什么值，相关系数决定了证券组合的风险大小，相关系数为－1时，风险最小。当xA、xB取特殊值时，证券组合的风险降为0。

5.相关系数的值域

根据相关系数（ρ）的数学性质，｜ρ｜≤1。当ρ＝－1时，表明两种证券的收益完全负相关，即两种证券收益的变动幅度相同而方向相反；当ρ＝1时，表明两种证券的收益完全正相关，即两种证券收益的变动幅度和方向完全相同；当ρ＝0时，表明两种证券的收益完全无关；当－1＜ρ＜0和0＜ρ＜1时，分别表明两种证券的收益部分负相关和部分正相关。其中，ρ＝－1，ρ＝1，ρ＝0这三种情况比较特殊，我们可以通过图3－4－1来较形象地理解。

图3-4-1　两种风险资产的相关性

（五）多种风险资产组合的风险和期望收益的计算

1.多种风险资产组合的风险和期望收益计算公式

当组合中资产种类N大于2时，我们可以从两种风险资产期望收益和风险的公式中推广得出多种风险资产组合的期望收益和风险计算公式：

期望收益：

风险（方差）：

其中：

2.多种风险资产组合的风险分散原理

我们首先引入以下假定：

（1）该组合中每种证券所占的比例是1／N；

（2）这N种证券各自的风险σ1，σ2，…，σN，都小于一个常数σ＊；

（3）N种证券的收益彼此之间完全无关，即相关系数为0。

上述假定虽然和现实有一定差距，但是不影响我们分析的结论。基于以上假定，我们可以证明证券组合可以降低风险这一结论。

所以，当N趋向无穷大，即随着证券组合中证券种类无限增加时，证券组合的风险σ2P趋向于0。

证券组合的风险取决于三个因素：各种证券所占的比例（xi），各种证券的风险（σi）以及这种证券收益之间的关系（ρ）。

但是，在组合中并非证券品种越多越好。因为，尽管随着证券品种N的增加，证券组合的风险（σP）会降低，但是，当N达到一定水平时，组合风险下降的速度会递减，最终是组合的风险等于证券市场的系统性风险（即与证券市场有关的风险，这种风险是不可分散的）。而组合的非系统性风险（即与证券市场无关的风险，这种风险是可以分散的）等于0。

（六）投资者无差异曲线

1.风险厌恶投资者的无差异曲线

（1）不满足性和厌恶风险

1952年，马柯维茨发表了一篇具有里程碑意义的论文，标志着现代投资组合理论的诞生。该理论对投资者对于收益和风险的态度有两个基本假设：一个是不满足性，另一个就是厌恶风险。

①不满足性

在一期投资的情况下，投资者用同样的期初财富来投资，总是偏好获得较多的期末财富。

②厌恶风险

现代投资组合理论还假设：投资者是厌恶风险的（Risk Averse），即在其他条件相同的情况下，投资者将选择标准差较小的组合。厌恶风险的假设意味着风险带给投资者的是负效用，因此如果没有收益来补偿，投资者是不会冒无谓风险的。

与厌恶风险的投资者相对应，还有风险中性（Risk Neutral）和爱好风险的投资者（Risk Lover）。前者对风险的高低漠不关心，只关心预期收益率的高低。对后者而言，风险给他带来的是正效用，因此在其他条件不变的情况下他将选择标准差大的组合。

（2）（投资）无差异曲线

投资者的目标是投资效用最大化，而投资效用（Utility）取决于投资的预期收益率和风险，其中预期收益率带来正的效用，风险带来负的效用。对于一个不满足和厌恶风险的投资者而言，预期收益率越高，投资效用越大；风险越大，投资效用越小。

然而，不同的投资者对风险的厌恶程度和对收益的偏好程度是不同的。为了更好地反映收益和风险对投资者效用的影响程度，我们有必要引入“无差异曲线”（Indifference Curve）的概念。无差异曲线在收益—方差坐标系中表现为一簇向右下方凸起的曲线。

一条无差异曲线代表给投资者带来同样满足程度的预期收益率和风险的所有组合。由于风险给投资者带来的是负效用，而收益带给投资者的是正效用。因此为了使投资者的满足程度相同，高风险的投资必须有高的预期收益率。

可见，无差异曲线的斜率是正的，这是无差异曲线的第1个特征。

图3-4-2　无差异曲线相交

无差异曲线的第2个特征是该曲线是下凸的。这意味着，要使投资者多冒等量的风险，给予他的补偿——预期收益率应越来越高。无差异曲线的这一特点是由预期收益率边际效用递减规律决定的。

无差异曲线的第3个特征是：同一投资者有无限多条无差异曲线。这意味着对于任何一个风险—收益组合，投资者对其的偏好程度都能与其他组合相比。由于投资者对收益的不满足性和对风险的厌恶，因此在无差异曲线图中越靠左上方的无差异曲线代表的满足程度越高。投资者的目标就是尽量选择位于左上角的组合。无差异曲线的第4个特征是：同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差异曲线都不能相交。这一性质与消费的无差异曲线相类似，我们可以通过反证法证明。在图3－4－3中，假设某个投资者的两条无差异曲线相交于X点。由于X和A都在I1上，因此X和A给投资者带来的效用是相同的。同样由于X和B都在I2上，因此X和B给投资者带来的效用是相同的。这意味着A和B给投资者带来的满足程度一定相同。但是，我们从图中可以看出，根据不满足性假设，B的预期收益高于A，两者风险是相同的，所以B的满足程度一定大于A，这样就产生了自相矛盾。所以，两条无差异曲线不能相交。

图3-4-3　不同程度厌恶风险的无差异曲线

一般而言，现实中投资者都是有一定风险厌恶性的，所以我们可以将风险厌恶投资者的无差异曲线作为典型，进行分析。

无差异曲线的斜率表示风险和收益之间的替代率，斜率越高，表明了让投资者多冒同样的风险，必须给他提供的收益补偿也相应越高，说明该投资者越厌恶风险。同样斜率越小，表明投资者厌恶风险程度较轻。上图中a的风险厌恶程度最高，c最低。

【复习提示及知识补充】

可以联系消费无差异曲线来理解（这里用于比较的投资无差异曲线，假定投资者风险厌恶）。两者的主要区别体现在：（1）消费无差异曲线的横轴、纵轴表示两种商品，这两种商品一般而言给消费者带来的都是正效应；投资无差异曲线横轴代表风险，纵轴代表预期收益，预期收益给投资者带来正效应，而风险给风险厌恶的投资者带来负效应。（2）消费无差异曲线凸向原点；投资无差异曲线向右下凸。（3）消费无差异曲线斜率为负；投资无差异曲线斜率为正。（4）消费无差异曲线越往右上表示效用越高；投资无差异曲线越向左上效用越高。当然，两者在基本属性上具有很多共同点，如不交叉性、凸性等。

（3）风险厌恶者的投资无差异曲线

风险厌恶投资者具有的投资特性：风险给其带来负效用，风险厌恶程度越高，其承担每单位的风险要求的收益率补偿就越大。图3－4－4就是典型的风险厌恶者的投资无差异曲线，A点对于B点增加的风险（σA－σB），需要提供正的收益补偿，才能使得A、B组合具有相同的效用，在同一条无差异曲线上。

总之，风险厌恶者的投资无差异曲线具有正斜率，斜率越大，风险厌恶程度越高。

图3-4-4　风险厌恶投资者无差异曲线

图3-4-5　风险爱好投资者无差异曲线

2.风险爱好投资者的无差异曲线

当然，现实生活中的投资者也并非都是风险厌恶的，有一部分投资者爱好于风险，认为风险越大，投资效用越大，这样投资组合的风险就会给投资者带来正效用，其投资效用曲线的形状和特性与消费无差异曲线相类似。图3－4－5就是典型的风险爱好者的投资无差异曲线。B比A具有更高的风险，却不需要风险补偿，因为风险也能给风险爱好的投资者带来正效用。

图3-4-6　风险中性投资者无差异曲线

3.风险中性投资者的无差异曲线

对投资的分类中，除了风险爱好者、风险厌恶者外，还有风险中性投资者。风险中性理论在许多经典的风险资产定价理论中发挥着重要的作用。那么，风险中性投资者的无差异曲线是什么样子的呢？由于风险中性投资者不关心风险，只关心收益率的大小，所以其投资无差异曲线是平行于横轴的一组平行线。

（七）有效集合有效边界

1.有效集定理

可行集指的是由N种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实生活中所有可能的组合。也就是说，所有可能的组合将位于可行集的边界上或内部。

所谓有效组合，就是按照既定收益下风险最小或既定风险下收益最大的原则建立起来的证券组合。所谓有效边界（Efficient Frontier），就是在坐标轴上将有效组合的预期收益和风险的组合连接而成的轨迹，即有效集（Efficient Set）。

2.可行集

（1）如何在可行集上选择有效集

下面首先从二元证券组合入手，讨论有效组合和有效边界，然后，拓展到多元证券组合。

①二元证券组合下的有效边界（N＝2）。

沿用上面关于两种风险资产组合的例子（见例3－4－4）。

在图3－4－7中，折线ACDEB上的点表示相关系数为－1时，A、B两种股票的所有可能的组合；弧线AFB上的点表示当相关系数等于零时的A、B两种股票的所有可能的组合；直线AGB上的点表示当相关系数等于1时的A、B两种股票的所有可能组合。点C、F、G就是上例中当xA＝xB＝，分别取－1，0，1时，得到的收益与风险的组合点。

根据有效组合的概念，厌恶风险者并不会选择DB线段上的证券组合。

图3-4-7　二元证券组合下的有效边界

针对弧线AxB而言（ρ＝0），A点与B点的含义与ρ等于－1时相同，即要么全部资金投在A股票，要么全部投在B股票；x点是与纵轴平行的一条直线与弧线AxB的切点。

同理可知，在弧线AxB上，只有Ax段所表示的组合才是有效组合，故Ax段是当相关系数等于零时的有效边界。

对直线AGB而言（ρ＝1），AGB上的每个点都代表着一个有效组合，故而直线AGB构成了当相关系数等于1时的有效边界。

②多元证券组合下的有效边界（N＞2）

如上所述，在二元证券组合中，所有可能的（给定相关系数的）证券组合在图形上表现为一条曲线（如折线、弧线和直线）。但是，当组合中证券品种大于2时，所有可能的证券组合在图形上则表现为一个区域（见图3－4－8）。

在图3－4－8中，阴影区域表示在某个多元证券的集合中所有可能的证券组合。但是，只有位于西北边缘的弧线BxyC上的点才是有效组合，故构成了有效边界。

图3-4-8　多元证券组合下的有效边界

图3-4-9　最佳资产组合的决定

（2）如何在有效集上选择最佳组合

在图3－4－9中，阴影区域表示多元证券组合的所有的组合点，弧线BAC是有效边界，I1、I2、I3、I4是无差异曲线，且I4＞I3＞I2＞I1。之所以选用这类无差异曲线，是因为假定中把投资者归为风险厌恶者。

根据无差异曲线与有效边界的切点，我们找到了最佳组合点A。无差异曲线I1、I2虽然也与有效边界有交点，如点D、点E，但是，因为I4＞I3＞I2＞I1，所以A点的效用最高，且落在有效边界上，也就是说，A点构成了多元证券组合的最佳组合点。

总之，最优证券组合应该符合以下条件：①最优组合应该位于有效边界上，只有在有效边界上的组合才是有效组合；②最优组合又应同时位于投资者的无差异曲线上，而且应该在左上方的无差异曲线上；③由于无差异曲线斜率为正，不满足性和厌恶风险的特性使无差异曲线呈下凸的特性，有效集呈上凸特性，决定了有效集和无差异曲线的相切点只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的。

【相关链接】

◆横向联系：引入无风险借贷后有效集的扩展问题。