费马大定理是怎样被证明的——创造猜想与求证思维方法

时间：2023-10-11 理论教育版权反馈

【摘要】：第二十六章费马大定理是怎样被证明的 ——创造猜想与求证思维方法“猜想”，一个多么神秘的字眼，又是多么地令人们神往啊!这就充分说明，最终完全证明庞加莱猜想是一件非常了不起的创造性的贡献。科学发展史表明，一些重大的科学发明往往是集前人之大成，庞加莱猜想的完全证明也不例外。在数学发展的历史上，关于费马大定理的求证无疑是最激动人心的。于是，也有不少数学家怀疑甚至否定费马提出的美妙证法的真实性。

第二十六章　费马大定理是怎样被证明的 ——创造猜想与求证思维方法

“猜想”，一个多么神秘的字眼，又是多么地令人们神往啊!

当我们一提到猜想，就不能不想到数学上那些众多的数学题猜想，以及那些为求证这些猜想而埋头默默耕耘的数学家们，他们之中的大多数人要穷其一生，而只有极个别的幸运者能问鼎令人们羡慕的荣誉。

对于中国数学界来说，2006年无疑是一个令人们难忘的年份。这一年8月22日至30日，第25届国际数学大会(ICM 2006)在西班牙马德里召开，约5000名各国数学家参加了大会。这次大会之所以格外引人注目，不仅仅是因为在这次大会上要颁发菲尔兹奖(Fields Medal)和内万林纳奖(Rolf Nevanlinna Prize)，而且还首次颁发高斯奖(Gauss Prize)，更为瞩目的是由美国数学家汉密尔顿(Richard Hamilton，1943—)宣布，一个困扰了世界数学界100多年的数学难题获得了完全的证明。

这个难题就是庞加莱猜想，它是庞加莱(Henri Poincare，1854—1912)于1904年在一篇论文中提出的：“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。”^[1]

就在这次世界数学大会召开前的两个多月，1982年菲尔兹数学奖获得者、著名华裔美国数学家丘成桐在北京通过新闻发布会宣布：“中国数学家最终证明了庞加莱猜想，而最终获得证明的就是中国数学家朱熹平和曹怀东。”他们的证明论文发表在《亚洲数学杂志》2006年6月号上。这当然是一个振奋人心的好消息，尽管人们对丘成桐的做法和这两位数学家的“最终证明”颇有歧义，但这至少说明他们也参与了世界数学前沿领域的研究。并且，我认为最重要的是，这至少给曾经为世界五个数学大国之一的中国的数学界打了一针强心剂。

自1904年以来的100多年里，包括庞加莱本人在内的法国、英国、美国、希腊、俄罗斯和中国的几十位杰出的数学家为解决这个猜想竭尽全力，曾经遭受一次又一次的失败，这一猜想成了有名的难证的数学问题之一。有几位数学家为解决这一猜想做出过非常出色的奠基性的工作，甚至先后有4位数学家还因此得到了菲尔兹奖。这就充分说明，最终完全证明庞加莱猜想是一件非常了不起的创造性的贡献。

科学发展史表明，一些重大的科学发明往往是集前人之大成，庞加莱猜想的完全证明也不例外。应当说，在破解庞加莱猜想的过程中，许多数学家都作出了贡献，有的作了奠基性的工作，有的提供了工具，有的逼近到证明的边缘。但是，在这些人中贡献最大的是俄罗斯数学怪才佩雷尔曼(Grigori Perelman，1966—)，这正是他获得2006年菲尔兹奖的原因。可是，佩雷尔曼却拒绝赴会和领奖，以前他还拒绝过欧洲数学会颁发的一个奖项。因此，佩雷尔曼贡献的不仅仅是破解庞加莱猜想的创造性的成果，而且还有远离物质化世界和名利场的高尚的治学精神。

在数学发展的历史上，关于费马大定理(Fermat's Conjecture)(或称费马猜想)的求证无疑是最激动人心的。所谓费马大定理，是法国著名数学家费马(Pierre de Fermat，1601—1665)于1637年在校订希腊数学家丢番图(Diophantus，约246—330)《算术》第Ⅱ卷第8命题时，在书稿的边注写下的一个数学猜想题：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”^[2]

费马的职业是律师，业余研究数学，被称为“业余数学之王”。他去世以后，人们找不到他猜想的证明，但这个“美妙的证法”却吸引了许多数学家，包括一些最著名的数学家，如欧拉、高斯、阿尔贝、勒让德、柯西、狄利克雷等都试证过，但谁也没有找到普遍的证法。于是，也有不少数学家怀疑甚至否定费马提出的美妙证法的真实性。

300多年过去了，但数学界并没有忘记这个被称为“美妙的证法”的数学猜想。为了促使这个猜想得到破解，德国哥廷根皇家科学会悬赏10万马克，奖励给第一个证明该猜想的人，限期为100年。从奖金之重和限期之长，可见这道猜想难度之大。可是，尽管许多数学家为此竭尽了全力，甚至在求证这一猜想的过程中使数学学科得到了巨大的发展，产生了不少重要的数学分支学科，但是费马猜想依然没有得到破解。就在山重水复疑无路时，一个天才数学家冒了出来，他就是英国数学家怀尔斯(A.Wiles，1953—)。在其他数学家研究的基础上，他从35岁开始，用了7年时间，于1995年在100多页的稿纸中证明了这一著名的数学难题。为此，他获得了1998年数学界最高奖菲尔兹奖，以及沃尔夫数学奖、美国国家科学院奖、哥廷根皇家科学会悬赏奖、邵逸夫数学科学奖等许多国际数学大奖。一时，不仅在数学，而且在科学界，他成了英雄，是20世纪后半个世纪最伟大的数学家。这正是高手之外自有高手在，奇妙猜想自有“奇妙”的证明人。

其实，数学猜想有着悠久的历史，从数学诞生起它就是在猜想与求证中不断发展的。提出比较系统猜想的莫过于德国数学家希尔伯特(Dvid Hilbert，1862—1943)，在1900年世界第二届国际数学家大会上，他提出了23个数学问题(史称希尔伯特问题)，从而激起了整个数学界的想象力。^[3]在此后的100多年里，这些问题既是数学研究的风向标，又成为检阅数学重大成就的指标。迄今为止，这23个问题之中，有的已经解决，有的部分得到解决，有的被证明是不可解的，还有一些问题仍然没有解决。对于已经解决的那些猜想，将成为数学科学的定理，将会继续寻找它们的应用；对于那些尚没有解决的，数学家们将会继续为之努力，借以推动数学学科的前进。

希尔伯特是卓越的数学家和思想家，创造了20世纪数学的奇迹，就像数学王国里的亚历山大皇帝，在数学史上留下了他不朽的名字。

回顾过去的一个世纪，国际数学界取得了巨大的成就，总共有50多位菲尔兹奖获得者，平均每两年就有一人获奖。为了推动21世纪数学的发展，2000年5月24日在巴黎召开“千年数学会议”，美国克莱数学研究所(Clay Mathematics Institute)公布了“千年数学大奖问题”，公开征求和悬奖7个数学难题的答案。它们是：NP完全问题，霍奇(Hodge)猜想，庞加莱(Poincare)猜想，黎曼(Rieman)假设，杨—米尔斯(Yang-Mills)理论，纳维尔—斯托可(Navier-Stokes)方程和BSD(Birch and Swinnerton-Dyer)猜想。悬赏条件规定，每一个猜想如果被完全证明，将获得100万美元的奖金，条件是必须在国际知名的数学刊物上发表满两年，经过由该所的一名研究员和两名该领域里的世界级专家组成的小组的验证。时隔6年后，庞加莱猜想被破解，剩下的还有6个问题，相信天才的数学家们将继续努力，21世纪的数学前景也将是无比灿烂的。

从上面几例数学猜想可以看出，那些能够给出深邃的数学题目，特别是历经几个世纪而仍然吸引无数数学家的猜想的，非超级数学大师莫属。那么，那些给出猜想题目的数学大师应当具备什么条件呢?总结数学发展史可以看出，这样的大师应该具备3个条件：

1.具有渊博的学识。这是非专攻一门的大师才能够做得到的。例如，提出庞加莱猜想的法国数学家庞加莱，他的研究领域涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等，他先后发明或创立了自守函数理论、单值化定理、多复变函数、微分方程定性理论、动力系统理论、庞加莱回归定理等。有人甚至评价说，庞加莱提出的猜想比其他的许多发明更为重要，因为它影响了世界数学100多年的发展。

2.具有深邃的洞察力，能够透过层层现象窥见到问题最核心的本质。这就是大师与普通学者最主要的区别，犹如法国艺术大师罗丹(Augusts Rodin，1840—1917)所说：“大家望着的东西，大师是用了自己的眼睛去看的。常人以为习见的事物，大师能窥见到它的美来。”^[4]的确，科学与艺术史上确有一些超人，爱因斯坦是物理学上的超人，弗洛伊德是心理学上的超人，毕加索是艺术上的超人，而法国数学家费马就是数学上的超人。在提出费马大定理的同时，费马就肯定地写道：“关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”这决非戏言，他确实洞察到这个定理的“美妙的证法”，只是不被人们所洞察，时隔358年才被英国天才数学家怀尔斯所证明。

3.具有超级的逻辑思维能力，能够一步一步地把猜想推算到最后的证明。在这种推算过程中，如果逻辑思维混乱，那就会半途而废，这兴许是许多数学家不能证明那些猜想的原因之一。例如，在最后冲刺庞加莱猜想时有三个小组：朱熹平和曹怀东发表在《亚洲数学杂志》上的论文有328页；密西根大学的布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleine)和约翰·洛特(John Lott)发表在网上的论文有192页；而田刚与约翰·莫根(John Morgan)发表在网上的书稿有473页。从这些数字看出，庞加莱猜想的证明步骤繁杂，如果没有缜密的逻辑思维能力，根本不可能求证如此超难度的猜想。

如果说提出深邃数学猜想的人是天才，那么最终证明这个数学猜想的人当然也是天才，而且猜想正是冶炼后一种天才的催化剂。有人戏言，杰出的数学家有两种人：一种可以为很多数学家提供饭碗，一种则会打破很多数学家的饭碗。前一种是提出伟大猜想的人，而后一种就是证明伟大猜想的人。

有人估计，全世界对重大问题进行求证的科学家大约有二三十万人。那么，这些杰出的人才应具有什么样的素质呢?从已有的资料来看，这些天才人物一般应具有如下的素质：

1.热爱数学，具有欣赏数学之美的特质。纵观数学发展史，那些作出了非凡发现的数学家，无一例外地都具有这种素质，如庞加莱、希尔伯特、菲尔兹、佩雷尔曼、陈省身、华罗庚、丘成桐、陶哲轩，等等。证明费马大定理的怀尔斯从10岁时就被费马大定理吸引住了，从此他选择了数学作为终身的职业。当他证明了这个历经3个多世纪的难题后，有人问他：“你为什么耗时7年而选择这道难题?”他说：“不是我选择了这个问题，而是这个问题选择了我。”

2.学识渊博，视野广阔。无论是数学猜想，还是其他科学领域里的猜想，往往都涉及许多学科，有时甚至你根本就不知道某个猜想是属于哪个学科，不知道从哪里下手，如黎曼假设就是其中之一。本来，数学家就分为两类：一类是具有解决数学难题的天资，另一类是擅长对现有状况做出理论总结。被称为数学王国里的亚历山大的希尔伯特就兼备这两类数学家之长，他堪为所有数学家中的佼佼者。他之所以能够提出或归纳出23个世纪数学难题，是因为他的足迹几乎走遍了现代数学所有的前沿阵地，对数学发展的背景与趋势了如指掌，在许多差异很大的领域里都作出了巨大的贡献。

3.具有很强的灵感。所谓灵感，是指直觉思维，也就是非逻辑思维。依我之见，提出重大猜想要靠超强的逻辑思维，而破解猜想主要是依靠非逻辑思维能力。灵感这个东西，是来之不易却又很容易消失的，所以一旦灵感显现就要立刻抓住不放。例如，怀尔斯向费马大定理冲击时，有人问他有把握吗?他说：“我认为是有希望的。我并不是浪漫，而是有很现实的把握。”应该说，这时怀尔斯找到了灵感，于是他连续奋斗，终于解决了这个300多年未被解决的难题。

4.具有百折不挠的坚强的毅力。在科学发现的历史上，那些容易解决的问题都一个一个地被攻克了，而剩下的往往都是最难啃的“硬骨头”，没有“铁杵磨成针”的精神，是不可能登上科学巅峰的。

瑞士数学家欧拉(Euler，1707—1783)被称为“数学家之英雄”，他17岁获得硕士学位，18岁开始发表数学论文，26岁成为数学教授。他在生前，已出版的和未发表的论文及书稿达888篇(部)之多，在数学、物理、天文和工程各个领域里发明了数不清的数学公式和定理，如欧拉常数、欧拉恒等式、欧拉级数、欧拉积分、欧拉微分方程、欧拉准则、欧拉变换、欧拉坐标、欧拉求积公式、欧拉方程、欧拉刚体运动方程、欧拉流体力学方程等。他28岁时为了计算彗星的轨道，竟然连续奋战了三天三夜，因疲劳过度致使右眼失明。后来，在他双眼失明和妻子去世后，他口授的论文和书稿尽达400多篇(部)，这是何等勤奋、刻苦和坚韧的精神啊!这也证明了爱迪生(Thomas Alva Edison，1847—1931)的一句名言：“天才就是1％的灵感加上99％的汗水。”而欧拉就是灵感与汗水兼备的旷世奇才。

综上所述，数学猜想与求证，这是一个矛盾问题的两个方面，正是它们的对立与统一才推动着数学学科的发展。牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现。”对于数学来说更是如此，数学之中处处有猜想。

什么叫猜想呢?所谓猜想，就是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识，作出符合一定经验与事实的推测性结论。美国著名数学家、数学方法论倡导者乔治·波利亚(G.Polya)指出：“在数学领域里，猜想是合理的，是值得尊重的，是负责任的态度。”他又说：“数学创造的过程与任何其他知识创造过程一样，在证明一个定理之前得猜想。”^[5]纵观科学发明的历史，许多重要的数学猜想的证明，都是经过合理的非逻辑手段而达到的，如哥德巴赫猜想、四色猜想的证明等。

猜想始于问题，没有问题就提不出猜想，所以“问题是数学的心脏”。

什么是问题?对此，希尔伯特深刻地指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”^[6]科学家和哲学家们都很喜欢提出问题，这已经成为他们的一种思维习惯，是指导他们研究的很重要的创造性思维方法。

那么，猜想思维方法具有哪些特点呢?一般来说，凡是科学中提出猜想的问题，应当具备三个前提：一是清晰性和易懂性；二是虽然很艰深但又使人感到有希望；三是既能引起人们的兴趣又具有深远的意义。作为一种思维方法，它既具有普通科学思维的共通性，又有其本身的某些特点。

首先，无论是猜想思维还是求证思维，都必须以丰富的想象力为基础。这正如爱因斯坦所说，想象力概括世界的一切。因此，没有想象力，既不可能提出深邃的猜想题目，也不可能证明这种深邃的猜想问题。

其次，猜想思维与求证思维都需要有缜密的逻辑思维作为工具，但求证猜想在很大程度上又要借助于非逻辑思维来接通，因此创造和把握住顿悟的机遇是十分重要的。

再次，营造民主、自由、宽松的环境是绝对必须的，要坚决排斥任何政府行为和学术权威对猜想与求证的干扰，保证猜想与求证自由流畅地进行。其实，正是这些思维上的特征创造了古希腊的文明，进而影响了欧洲文明和近代科学技术的诞生。

猜想与求证思维方法并不局限于数学上的应用，在天文、物理、生命科学以及人文社会科学上都有广泛的应用。比如，宇宙是世界上谜团最多的地方，人们对它的猜想也最多，黑洞就是其中之一。其实，关于宇宙存在黑洞的说法已经流传了数百年，但科学家们认为这只是数学上的猜想。19世纪60年代初，美国物理学家韦勒(John Weller，1912—)根据爱因斯坦的相对论，正式提出了黑洞理论。他认为，太空中有一些很大的天体，由于内部存在强大的引力，天长日久就自行坍缩成为一种新的体积很小但密度极大的天体，包括光线在内的任何物质，只要靠近它，就会被吸引进去而消失。由于这个天体不向外释放任何物质和质量，所以无法应用探测仪器观察到它，并且，韦勒给它起了一个名字——黑洞。1997年1月13日，在美洲天文学会189次年会上，来自各国的天文学家公布了他们第一次对黑洞普查的结果，为黑洞的存在提供了新的证据。^[7]

科学家们之所以对黑洞猜想表现出了极大的兴趣，是因为黑洞是探明宇宙起源的关键问题之一。在黑洞研究方面，英国剑桥大学理论物理学家霍金堪为一个里程碑式的人物，他于1975年提出了黑洞辐射理论(也称霍金辐射)，这使他成为最有影响的宇宙学权威。他用数学计算方法证明黑洞由于质量巨大，进入其边界的物体都会被吞噬而永远无法逃逸。可是，到了2004年7月21日，在都柏林第17届国际广义相对论和万有引力大会上，霍金推翻了他原来的黑洞理论，提出了新的黑洞理论。他通过计算证明，黑洞最初的信息量与最终的信息量是相等的，在黑洞里不会形成新的宇宙，同时它还会向外辐射其所吞噬物质的所有信息。30多年以来，霍金曾为他的黑洞理论与量子理论相矛盾而苦恼，现在他大胆提出新的黑洞理论，从而结束了纠缠他30多年的苦恼。霍金新黑洞理论表明，黑洞在星系形成过程中扮演了重要的角色，被黑洞吞噬的物质，经过长期辐射最终会把信息释放出来。这个新的黑洞理论，将会使黑洞的研究进入一个新的阶段。当然，要最终揭开黑洞的秘密，还有待科学家们应用科学实验观察来证明。^[8]

在生命科学领域里，不解之谜更多，与此同时，猜想也就很多。例如，生命的起源?恐龙是怎样灭绝的?到底有没有外星生命?人为什么会衰老?人的记忆开关是什么?人的生物钟是怎样发挥作用的?究竟有没有灵魂?……这些问题有的已经解决，有的取得了进展，有的在探索之中。有理由相信，随着科学技术的进步，特别是新的实验技术与观察手段的发明，将有更多的生命奥妙会被发现。

谜语是我国传统文化的精髓，它是中国所特有的。千百年以来，猜谜语一直是备受我国各族人民欢迎的一项智力活动。无论是文人墨客还是老翁少童，在欢庆节日或是闲暇之时，都会聚集在一起出谜与猜谜，这种娱乐方式给人们的生活增添了许多乐趣。我国谜语的种类很多，如灯谜、字谜、事谜、物谜等，楹联与谜语也密切相关，出联对句更是古时文人们的一大雅兴。

在21世纪到来之际，我国在北京天坛建成了“中华世纪坛”。为了纪念这个标志建筑物的落成，“中华世纪坛”请楹联专家创作了一条被视为“世纪坛绝对”的上联，公开向社会征集这句楹联的下联。该联共32个字，其中有8个读音为shiji的词，共16字，要求下联也要有与其对仗的8个谐音词。专家们认为要对出下联是有很大难度的，主办方曾一度担心无人能对得出。可是，令人称奇的是，清华大学25岁的研究生张志成以8个含有jingcheng的词对出了下联，从3000多份应征的来稿中脱颖而出，获得了此次猜谜语的头奖。主办方作出决定，于壬午年(2002)正月十五，将公众所关注的这副工整对仗的“世纪绝对”，在中华世纪坛公开展出。^[9]

上联：世纪坛上，视际六合，侍祭列祖，试寄情思；示计春秋，事记历史，誓继先烈，势济中华

下联：京城旗下，旌呈七色，箐程古都，睛盛新貌；精诚赤子，经承风雷，兢乘龙马，惊成伟业

这副楹联在音、形、意上匹配得非常完美，读后不能不令人称绝，并为这位并非科班出身的年轻人叫好。为什么这位非科班的研究生能够对出这个“世纪绝对”呢?问题的关键不在于专业知识，起决定作用的是创造性的思维能力，而张志成则具备了这种能力。

谜语包括谜面与谜底两个部分：就谜作者而言，要善于把创意贯彻于谜面设计的全过程中，以画龙点睛的手法付诸笔端；对于猜谜语者来说，要根据谜法对谜面的音、形、义变化的特点进行认真推敲，揣测谜作者的创作思路和埋笔的手法，应用想象力进行由此及彼地推理，以求揭开谜底。

总之，无论是谜语、数学猜想，还是自然现象、生命现象等，都是有规律可循的。这就是以想象力、逻辑思维能力和直觉思维能力为基础的创造性的猜想思维方法。因此，我们应当在教学中介绍创造猜想与求证思维方法，引导学生进行思维训练，掌握这种思维方法的特点对于培养创造型人才是非常重要的。

思维训练参考题

1.什么叫猜想与求证思维方法?它有哪些特点?

2.数学猜想对科学发展有什么作用?请举例说明。

3.为什么现在一些重大的数学猜想大多是20世纪以前的数学家提出的?为什么进入20世纪后，在科学技术高度发达以后，能够提出这种深邃猜想的数学家反而少了呢?为什么在近代数学史上，没有中国数学家提出的数学猜想呢?

4.俄罗斯数学家佩雷尔曼因破解庞加莱猜想而获得2006年的菲尔兹奖，你认为我们应从他身上得到哪些启示?

5.你是否喜爱猜谜语?猜谜语对于开发人们的创造思维能力有哪些作用?请你选择自己感兴趣的主题，设计出5条富有创意的谜面，并附上你的谜底。

【注释】