高中自主探索大学数学先修课程的实践研究

徐岳灿

(上海市上海中学,上海200231)

摘　要:教育是一个连续性的过程,为了进一步促进基础教育与高等教育的有效衔接,根据北京大学提出的“中国大学先修课程”和美国“AP”课程,上海中学开始自主探索在高中阶段开设大学先修数学课程。经过近一年半的实践,从课程内容的确定、教学方式的选择以及对课程的评价等方面探索出适合上海中学资优生学习先修课程的宝贵经验。实践经验以及有关研究充分表明,大学先修课程可以较好地解决中学教育和大学教育的衔接问题,也为培养拔尖创新人才创造了基本条件。

关键词:先修;课程;数学;自主探索

作者简介:徐岳灿,浙江绍兴人,上海市上海中学高级教师,主要从事高中数学教学研究。

美国AP(Advanced Placement)课程是国际上比较有影响的大学先修课程,被全球教育界认可为具有较高学业水准的教育项目,对于一些有潜质的学生及早学习大学预科内容、促进学生的专业指向选择有很大的引领作用。近年来,我国大学也在尝试中国的大学先修课程,简称CAP (China Advanced Placement),然而,一个最大的难题是针对国内学生间的巨大差异而缺少适应性。上海中学作为比较早引入美国AP课程到国际部实践的学校,在国际部教学中取得了国际领先的成绩。由于学校本部聚焦了一批资质优异的学生,为了使他们的优势潜能得到开发,学校进行了高中自主探索大学数学先修课程的探索,文章对学校自主探索大学数学先修课程进行了实践研究,旨在获得好的经验在其他学科中推广。

一、自主探索大学数学先修课程的背景

2012年年底,北京大学率先提出在全国范围内的著名中学内为一部分优异高中学生实施大学先修课程,主要开设古代汉语、微积分、普通物理、电磁学、大学化学等课程,这是北京大学为全国的优秀中学生实行菁英教育的一部分。北京大学在暑期为这些全国优秀的中学培训相关师资,在培训课程中明确先修课程的教学目标与要求,同时确定考试范围与要求。接着各中学根据教学实际选择部分课程在中学内开设,完成课程后由北京大学组织考试,根据考核结果可以获得相关课程的大学学分,并为北京大学自主招生提供参考。

为优秀高中生开设大学预先课程在美国已经实施多年,其中最典型的是美国AP课程,中文一般翻译为“美国大学先修课程”,美国高中AP课程有22个门类、37个学科,已在美国15000多所高中里普遍开设。它可以使高中学生提前接触大学课程,避免了高中和大学初级阶段课程的重复。美国高中生可以选修这些课程,在完成课业后参加AP考试,得到一定的成绩后可以获得大学学分。AP成绩已成为美国大学重要录取依据。根据美国大学升学顾问委员会在全美范围内所作的调查,由于美国大学已经普遍把学生在AP考试中的表现作为衡量其是否能够胜任大学学习的依据,因此AP考试成绩已经成为众多大学录取考虑因素中最为重要的依据之一。AP课程完全符合美国一流名校的招生理念和选材思维模式,其表现在于一方面能增加GPA成绩,又是学生学习能力和未来发展潜力的最好证明。[1]

上海中学作为一所国内一流、国际知名的著名学校,在聚焦志趣、激发潜能的办学理念指引下,学校在思考如何让每一位学生在创新素养培育的土壤中充分参与并从中获益。正是在北京大学和美国AP课程的共同引领下,上海中学从2013年5月起,组织成立了上海中学大学先修课程领导小组,决定从2013年9月起在高二年级部分学生中自主探索大学先修课程:自主探索数学大学先修课程与物理大学先修课程。文章主要对自主探索上海中学数学大学先修课程(以下简称SAP数学)的实践进行分析。

二、自主探索SAP数学课程的实践

1.学生的组成

上海中学高二年级由3个理科特色班(数学班、科技班与工程班)和7个平行班组成。其中3个理科特色班具有理科特长,班级学生综合素质优秀等特点,因而在相关课程的内容与深度方面都超过其他7个平行班,这为学校开设大学先修课程创立了基础。在刚刚过去的2013学年中,学校以数学、物理两个学科作为试点,组织了高二年级7个平行班中学有余力的共70名学生,和3个理科班的120名学生共计190名学生,作为学校的大学先修课程的首批学员。

2.内容的确定

如何确定适合我们高中生的SAP课程数学学科的教学内容是开设先修课程遇到的最大问题。结合学校学生实际情况以及北京大学提出的大学先修课程要求,一方面我们不能全部遵照北京大学对大学先修课程的要求,原因主要有二:其一是学生的选择面过于单一,该课程的考核成绩仅能供北京大学使用,不适合大部分学生将来的大学目标;其二师资与学生能力有待提升,尽管作为一名高二的优秀学生,但是北京大学的大学先修课程对学生能力的要求超过本校学生的实际水平。其课程要求几乎是把相应的大学课程直接下放到中学中来,学生知识与能力还没有达到相应要求。合适的师资短缺也是我们遇到的实际困难,作为教授大学课程的教师,需要相当的能力水平,仅仅依靠北京大学的培训,不足以承担这样的教学任务。另一方面我们也不能直接实施美国的AP课程,许多AP课程是美国大学一年级的课程,AP成绩虽然已经成为美国大学重要录取依据,但是其教学内容不适合上海中学学生的学习,我们最后确定具有上海中学特色的课程内容,形成上海中学自主特色的SAP数学课程,每学科确定了14个主题内容。结合上海中学学生自身特点,按章节内容,以此激发这些资优生的学习潜能。以下是SAP数学课程的教学内容:

第一讲:容斥原理与抽屉原理;

第二讲:均值不等式与柯西不等式;

第三讲:不等式的证明;

第四讲:多项式与方程;

第五讲:函数迭代与函数方程;

第六讲:导数的应用(1)(导数的定义、利用导数求最值等);

第七讲:导数的应用(2)(定积分与不定积分,利用导数求面积、体积等);

第八讲:数论初步(1)(整数的整除性、整除性定理、质数与合数算术基本定理;

第九讲:数论初步(2)(不定方程、同余概念与性质、一次同余式);

第十讲:递推数列(差分方程、利用特征根求解数列);

第十一讲:数列不等式(数列与不等式证明的整合);

第十二讲:曲线系(曲线系方程、切线方程、切点弦方程、极线);

第十三讲:组合初步(排列组合、计数原理);

第十四讲:复数(复数方程与复数三角式)。

为确定上述14个主题的内容,我们数学组的5位任课教师经过认真讨论,仔细参阅北京大学先修数学课程的内容纲要,并结合最近几年各重点大学自主考试对学生的要求,再参照上海中学的数学基础型课程纲要,并根据这些优秀学生的学习能力,最后决定上述内容作为SAP数学的基本教学内容。如第六讲与第七讲是大学高等数学的基本内容,在国内其他省市已经作为高考要求,而上海市至今未作要求,学生很有必要学习这部分内容。又如第一、二、八与九讲是高中数学竞赛的核心内容,参与SAP课程的部分学生以前有所涉及,但是不够系统,需要全面有机的整合与提升。其余的几讲内容基本是高中数学教材的衍生与提高,如差分方程、利用特征根求解数列,虽然它们在高考中不作要求,但是我们认为这些内容对于提升他们的综合数学素养是必不可少的。

3.教学模式

这些内容以两种形式在高二年级中逐步推行。对于3个理科班,我们把自主探索的大学先修数学课程的14个主题内容穿插在高二整个学年的平时课堂教学中,要求这3个班级中的每位学生必须学习这两门课程,而7个平行班的学生,在高一学年结束时根据学生意愿择优录取,共选拔70名学生,其中数学40名,物理30名,并把学生各分成20人与15人的两个小班,由数学、物理教师各2名开展小班授课。教师授课主要以讲解为主,确保课堂授课的质量和效率。为进一步降低学生的学习障碍,我们在授课计划上,力求与高二课堂上的数学内容紧密配合,尽量避免有些知识点先上大学内容,再上中学内容的尴尬,在内容上细致处理好大学和中学内容的衔接照应,解题能力和学科思维并重,理性思辨和直观认识并重,力求兼顾课程内容的趣味性、应用性,多举例、多归纳、多联想,少些枯燥的推导、刻板的论证和机械的重复。

以下例举第四讲的授课讲义,以资说明:

第四讲　多项式与方程

【知识提要】

1.整系数多项式的根:若既约分数(即 (p,q)＝1,p≠0,p,q∈Z)为整系数多项式a nxn＋a n－1xn－1＋……＋a 1x＋a 0的根,则p| a n,q| a 0

推理1:首项系数为1的整系数多项式的有理根必是整数根。

推理2:整系数多项式的整数根,必是常数项a 0的约数。

2.本原多项式:f(x)＝a nxn＋a n－1xn－1＋……＋a 1x＋a 0,系数a n,a n－1,……,a 1,a 0没有异于±1的公因子,也就是它们是互素的。

高斯定理:两个本原多项式的乘积还是本原多项式。

定理2:如果整系数多项式能分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

推论:设f(x),g(x)都是整系数多项式,并且g(x)是本原的,如果f(x)＝g(x)h(x),其中h(x)是有理系数多项式,那么h(x)一定是整系数的。

3.三次方程的韦达定理:设三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0(a≠0)的三个根分别是x1,x2,x3,则有

x1＋x2＋x3＝－

,x1x2＋x2x3＋x1x3＝,x1x2x3＝－

4.零值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)＜0,那么在开区间(a,b)内至少存在实数c,使得f(c)＝0

知识提要是对SAP数学课程中的每一讲的重要内容的高立意的体现,对学生理解本讲内容起到引领与归纳作用。既要找到适合学生发展的教学内容,也要找到推动学生发展的教学方式,并从理性的层面探索将教学内容与教学方式联系起来的结合点,这对培养SAP的数学学科素养有积极作用。

【典型例题】

例:请证明:方程1＋x＋＋……＋＝0,当n为偶数时没有实数根,当n为奇数时,有且仅有一个实数根。

证明:用数学归纳法证明:n为奇数时, f n(x)单调递增,且值域为(－∞,＋∞);n为偶数时,f n(x)＞0恒成立。这里f n(x)＝1＋x＋．

对f n(x)求导,有f’n(x)＝1＋x＋＋＋……＋＝f n－1(x) n＝1时,f 1(x)＝1＋x,它在R上单调递增,且值域为R

n＝2时,f 2(x)＝1＋x＋＝(x＋1)2＋＞0

故n＝1,2时结论成立

设n＝k－1时结论成立,则n＝k时,

(1)当k为偶数时,f k(x)＝1＋x＋＋,f’k(x)＝f k－1(x),因为k－1为奇数,由归纳假设f k－1(x)在R上单调递增,且值域为R,故方程f k－1(x)＝0有且仅有一个实数根,设为x0,当x＜x0时,f k－1(x)＜0,当x＞x0 时,f k－1(x)＞0,所以对f’k(x)而言,只有f’k(x0)＝0,且当x＜x0时,f’k(x)＜0,当x＞x0时,f’k(x)＞0。

所以x0是f k(x)的最小值,于是f k(x0)＝1＋x0＋＞0(因为k为偶数),f k(x)f k(x0)＞0,即n为偶数时,f n(x)＞0恒成立。

(2)当k为奇数时,k－1为偶数,由归纳假设f k－1(x)＞0,所以f’k(x)＝f k－1(x)＞0,所以f k(x)在R上单调递增,再注意到k为奇数时,多项式f k(x)＝1＋x＋,当x→＋∞,f k(x)→＋∞,当x→－∞,f k(x)→－∞,即当n为奇数时,f n(x)单调递增,且值域为(－∞,＋∞)。

综上,当n为偶数时,f n(x)＞0恒成立,故f n(x)＝0没有实数根;n为奇数时,f n(x)单调递增,且值域为(－∞,＋∞),故f n(x)＝0有且仅有一个实数根。

对于每个例题的选取,需要结合这些对数学有较高天赋学生的发展分析,他们对数学的领悟能力与数学的深刻性有明显的体现,如模式、方法、思想的迁移,即能够对所学数学知识、数学公式、例题解法等,模仿应用到相关数学问题的解决中去,如上例关于数学归纳法的应用,要求能用数学归纳法去解决代数、数论、组合中的一些问题,甚至在平面几何中都有应用,需要一些创造性的模仿。这些内容与方法的学习对于将来大学课程的学习不仅是知识的预备,更是相关数学思想与理念的预先介入。

对应每一讲的具体内容如何确定,又需要任课教师反复斟酌,至于这些内容如何讲解,那是更需要综合考虑方方面面的因素。如上述“多项式与方程”的内容确定,考虑到多项式内容仅在初中阶段出现,那时只是对多项式的运算而已,即多项式之间的加、减、乘、除4种运算,从来不涉及它的应用。而事实上,方程问题贯彻整个中学阶段,不仅是初中教学的重点,也是高中教学的一部分,甚至大学同样涉及,而方程与多项式又紧密相连。因此我们认为,对于高中阶段知识的完备性而言,这讲内容缺少不可。讲解的内容达到什么程度,也是教师值得关注的。如果要求太高,担心学生的接受能力与知识储备不足,继而学生失去信心,如果要求太低,学生的收效将降低。因此,最后我们一致同意使每一讲的教学难度低于竞赛要求,但又高于高考要求。

每一讲的讲义基本由三部分组成,第一部分是本讲内容涉及到的知识点介绍,少量的是学生已有知识的总结与提升,绝大部分的是新知识的要点概括,这部分内容在每讲中大约需要占用约20分钟的时间;第二部分是精选例题,一般有10至15个例题,难易适当,题型也有变化,有的是选择题,有的是填空题,大部分是解答题,笔者在上述第四讲中举例其中的3个例子。对应这些例题,基本是由教师主讲,大约需要占用60分钟时间,余下的10分钟,教师需要讲评作业中的错误。第三部分是课后练习,一般会根据当天的主讲内容,配合适量练习,题量控制在 6到8个练习题,题型多样,难度低于上课内容,主要是为了巩固课堂中的新知识,要求学生独立完成。

2.旅游车上 乘坐着日本、美国、法国三个国家的游客,现知道日本游客有18人,法国游客有9人,成年男游客中美国游客5人,法国游客3 人;成年女游客中日本游客5人,法国游客3人;男孩中日本3人,美国2人;女孩中美国2人,法国1人;还知道成年女游客比成年男游客少2人,而男孩与女孩一样多,则美国游客的人数是_____ _____。

答案:1．3; 2．13人

三、自主探索SAP数学课程的评价

我们通过对自主探索SAP数学先修课程的实践,认为此课程拓宽了高中学生的学科视野,聚焦学科志趣。为保证先修课程的进度和质量,不影响学生正常的课堂教学,我们把先修课程的所有课时都安排在周日晚上19:30到21:00,而且把课程的评价分阶段按内容进行,每堂课后,都留有6～8个问题作为课后作业,在接下去的周三晚自修结束前递交。负责教师对学生递交的作业必须进行合理的评价,等下周日晚上开始前还需要对作业进行评讲。每学期的开学初,学校教学处会根据校历安排14个主题的具体上课日期以及最后的考核时间。上述平行班的40名学生在高二年级第一学期结束前,我们还要组织考核,由第三方命题,统一参加最后一次的90分钟后的测试,对学生在这一学期的所学内容进行全面的考核,考核题型如平时课堂教学类似,难度也与课堂教学相当,根据过去的一年中的两次考核结果,平均分在85分左右,达到预期的目标。以下各选取每种题型的其中二题。

选择题二例:

1.使得(1＋i)n＝(1－i)n,n∈N∗成立,则最小的自然数n的值是_______。

A．8 B．6 C．4 D．2

2.三边长均为整数,且最大边为11的三角形的个数为_______。

A．37个 B．36个 C．26个

D．25个

答案:1．C; 2．B

填空题二例:

1.已知正实数a,b满足________。

计算题二例:

1．设函数f(x)＝|x－1|＋| 2x－1|＋| 3x－1|＋……＋| 2014x－1|,问x为何值时,f(x)取到最小值,并求出最小值。

2．已知x1,x2,x3,……,xn均为正实数,x1x2x3……xn＝1,求证:

(2＋x1)( 2＋x2)( 2＋x3)……(2＋xn) ≥( 2＋1)n

答案:1．x＝,最小值为833 2．用 数学归纳法证明。

对于这些考试题目的选定,一方面需要考虑学生的实际情况,毕竟这部分内容学生是在课后业余时间独立完成,大部份是自学而成,体现出他们对数学的热爱。作为SAP的课程教师主要工作是指导与总结,学生在该课程上的投入精力也是一般,因此要求学生对SAP课程的基本要求能熟练掌握,如试题中的大部分填空题与选择题。另一方面,作为SAP课程教学,需要对他们的菁英教育有实质的体现,如给出的两道解答题,都是对最近两年北大自主招生考试题目的适当改变而得,体现了该课程的核心思想,对推理、演绎、运算、应用、分析、数形结合等重要知识团进行了系统的整合。

我们不仅对学生在SAP数学课程中所学内容进行考核,还把他们在先修数学课程中取得的成绩与该生在年级中的综合排名取得对照。高二年级共有391名学生,参与SAP数学考核的学生共有190人,从对照中我们能发现大部分学生在先修数学课程中取得的成绩与该生在年级中综合排名正相关,除个别学生偏科外,如数学课程中的满分获得者在校综合排名仅为269,仅有8位学生在年级中的综合排名位于年级200名至300名之间,这种现象符合 SAP 的课程教学与特殊学生的需要,我们希望一些在数学方面有特长的学生在数学领域有杰出的表现,尊重学生在数学学习上的差异性。当然从中可以发现选取的90%以上学生位于年级中等水平以上,体现出这部分学生的突出表现,证明了他们有能力完成这门课程,这也是我们为什么要开设大学先修课程的基本原因。

从学生对课程的反馈分析。自从学校推出AP数学课程以来,吸引了一批数学爱好者。笔者认为原因有许多,有的学生认为课程名称很时髦,迎合了一部分想出国深造的学生,他们把学校自主探索的SAP数学课程与美国的有关数学AP课程联系起来,有的学生热衷于数学探究,这是难得的机会,因此想要争取到上课的名额,竞争相当激烈。正是由于学生喜欢该课程,所以从一开始就对该课程评价很好,任课教师准备充分,参与学生的水平又相当优秀,是难得的相互探讨的机遇。对应具体的教学内容,学生也都非常乐观,他们认为在AP数学课程中学到的知识开拓了眼界,加深了对数学的热爱。其中一位学生曾说:“这些上课的知识与技能虽然不能直接在平时的课堂教学中体现,但对学生的综合数学素养的提升起到积极的作业。”他举例说明:在刚过去的一次重要测验中,有如下一题:

定义:若对任意x1、x2∈(a,b)恒有成立,则称函数f(x)在(a,b)上为凹函数．已知凹函数具有如下性质:对任意的xi∈(a, b)(i＝1,2,……,n),必有成立,其中等号当且仅当x1＝x2＝……＝xn时成立．(1)试判断y＝x2是否为R上的凹函数,并说明理由;(2)若x、y、z∈R, 且x＋3y＋4z＝16,试求x2＋3y 2＋4z 2的最小值并指出取得最小值时x、y、z的值。

命题者的意图是要求学生根据第(1)问的结论得,把x2＋3y 2＋4z 2＝x2＋y 2＋y 2＋y 2＋z 2＋z 2＋ z 2＋z 2≥＝8f(2)＝8f(2)＝32从而得到x2＋3y 2＋4z 2的最小值为32,而事实上,大部分学过AP数学课程的同学,直接利用柯西不等式:(1＋3＋4)(x2＋3y 2＋4z 2)≥(x＋3y＋4z)2．把x＋3y＋4z＝16代入,直接得到x2＋3y 2＋4z 2的最小值为32．而事实上,根据学生测验结果来分析,较少学生能利用命题者的意图解题,大部分正确求得结果的学生是直接由后一种做法获得。

四、高中自主探索大学数学先修课程的设想与建议

中学生在没有确定自己将来所学专业的时候去先修大学课程,学生的积极性非常关键,既不能把它包装成全部应付升学考试的补习课,更不应该简单照搬大学的基础课程,而是必须围绕学生的需求和兴趣作出一些特别应对。[2]

面对这样的现实情况,我们同样不是避而不谈,每一轮课程结束,教师都需要对课程的设计进行反思,结合学生的学习实际调整教学内容与教学方法。如,第一学期的学生在学习第14讲《复数》时,由于正常的教学安排,《复数》内容需要在高二第二学期执行,因此在开始之前,需要简单介绍相关的复数基本知识,而第二学期的学生就没有这样的必要了。现在我们正面临国内高校自主招生改革和国外大学录取形势同时的快速变化,对应最近的从2017年起的高中综合改革新政,同样需要在我们的AP数学课程中大胆体现。大学先修课程的模式是培养优秀学生的重要改革方向,但需要更细致的设计和实施,但愿我们的尝试能有一点积极的效果。

随着AP数学课程的逐步深入开展,部分学生在其他学科中也提出相应的要求,如物理、化学两学科,因此,建议类似的学科逐步开设,满足优秀学生的需要。为了取得更佳的效果,我们时刻与学生在一起,不断听取学生的建议,如教师授课进度太快、某个专题涉入不深、有些知识太难等问题,又如要求学校提供教学平台,供温习之用。我们一般都会积极采纳,减少学生的学习障碍。在自主探索大学先修数学课程上,为了资优生的优势潜能开发,学校将持续探索下去。

参考文献:

[1]范端喜．名牌大学自主招生(数学)[M]．上海:华东师范大学出版社,2013．

[2]美国AP课程[EB/OL]．http://baike．baidu．com/view/245139．htm．

The Research into the Independent Exploration of Advanced Placement Mathematics Courses in Senior High School

XU Yuecan

(Shanghai High School, Shanghai 200231)

Abstract:Education is a continuous process．In order to better connect high school education with higher education, Shanghai High School has initiated an Advanced Placement(AP)math course for senior high school students, which is in accordance with the idea of promoting AP courses in China proposed by Peking University as well as the AP courses in the U．S．With one and a half years’efforts, a relative complete system of courses suitable for the exceptional students in Shanghai High School have been established, including the teaching materials, the teaching methods and the assessment of courses．Our practice and researches have indicated that the AP courses help to promote better connection between high school education and college education, which will lay a solid foundation for cultivating outstanding and creative talent．

Key words:advanced placement, mathematics, course, independent