谈谈一年级工农班的数学辅导工作

谈谈一年级工农班的数学辅导工作

数学教研组（上海部分）助教　范荣良

本学期，教研组将一年级工农班的辅导任务分配给我，我一方面感到这是组织对我的信任，另一方面又感到责任的重大。

我这个班级大部分都是工农调干生，还有少部分是少数民族和越南留学生，其中80%来自工农速中，他们的初等数学水平参差不齐。

这个伴有机、电、船等不同类型的专业，成立于本学期，因此与上学期所学的内容还有一定程度的不同，又在不增加教学时数的原则下，既要保证进度又要保证质量，这就给教学带来了困难。

但是大课是由数学系经验较丰富的颜家驹副教授担任，加上同学的政治质量高、学习劲头大、努力、踏实，所以我满怀信心地接受了这个光荣的任务，这也是一个实际的考验，下定决心搞好。半个学期以来，在颜先生的细致教学和同学们的努力下，学习有了很大的提高，同学们一般在课堂上能大部分接受讲述，为了更好地改进数学教学，现把我做过的和想做的工作谈一谈，希望各位先生们多提意见。

消除顾虑和同学们在一起

在一开始工作的时候，首先我就想尽快地了解同学们的数学水平，包括一般的水平和个别的水平，借以计划和安排辅导工作的开展。就到曾经担任工农同学辅导的教师那里了解每个同学以前的学习情况和特点，并发调查表给每个同学把过去学过的内容中感到不巩固的部分和对学习的要求和意见写到调查表上。这样稍微了解了一些同学情况，我为了消除同学们的顾虑，就尽可能地和同学们进行交流。听大课的时候提早进教室，提前和同学坐在一起，了解他们的学习情况，问问他们当天的学习情况和吸收情况，回去后复习所花的时间和方法。当他们有问题时，我就抓住机会，尽可能仔细耐心地回答，检查他们有没有掌握，如果发现他模糊或不了解，就更深入仔细地讲解，一直到有关问题基本解决了为止，这样一方面了解同学思考的方法，这样就不管大小问题他们都愿意来问了，为以后更好的开展工作创造了良好的条件。

搞好辅导工作的四个环节

辅导工作基本上分成了四个环节：习题课、答疑、质疑和批改作业。而这四项工作实质是相互有关的，为了上好习题课，那么答疑、质疑和批改作业都是备好课的条件。

1.答疑：答疑的时间安排得比较多，目的是做到使同学及时的解决问题，所以大课一周是分三次上的，答疑也同时排了三次。答疑在教室内进行，同学有问题就来问。由于工农同学往往不习惯用数学中的一套思路来思考，所以提的问题常常是较笼统的大问题，我们可以将问题细细地分析，这样可以使他慢慢地掌握数学问题的思考方法。在同学提问时，我尽可能让他们多有机会谈自己的想法，这样我才可以明白问题的症结所在，而针对问题，当发现同一问题大多数人都提及了，我们一方面要鼓励提该问题的同学，一方面可以将此题作为例题来讲，作为习题课的内容之一。在同学答疑较少的时候，则利用这段时间，看看同学的做题情况，发现他们一般做题较慢，主要是不善于把课程内容和习题相结合，以及运算不熟练，再看他们做题的时候就可以看他们对某题如何理解？进而进行纠正和启发一些思考路线。

2.质疑：质疑的对象是根据了解的情况和班干部的协商而定的。是些特别感到困难或是需要特殊照顾的同学，把他们分成三批进行，每批三四个人。主要是检查其一周来的接受情况，并根据其特点而进行，我们要给他们安排些容易产生错误的关键或者是容易混淆的习题，做后，对做对的同学讲解他是怎么样进行思考和为什么要这么做？以做示范，并且指出并分析错误及其原因，这样做使这些同学逐渐掌握做题和学习的思考方法，转变在学习数学和做题时的思考方法，转变在学习数学时感到无从下手和自己也说不出到底懂没懂。还要耐心，怎样耐心法呢？这就要在讲课的时候尽可能地面对同学，时刻留心同学对讲的是否有犹豫的样子，如果有的话，尽量把自己内容重新讲解，如果他现在不理解并不影响后面的理论，则可以等下课后继续讲解，对于希望一定要抄下来的材料，尽量按照书来讲，这样可以使同学对讲课或者笔记有疑难的地方有所参考。

怎样讲得清楚和透彻呢？要求清楚的地方是重点突出，特别注意不要使同学被尚未熟悉的演算模糊了当时的主题，讲话也要慢一些，这样可以使同学们有充分的时间理解，尤其在开始的时候，尽量避免边讲边抄得过快。

3.批改作业：工农同学在习题中产生的问题并不一定是该题的方法没有掌握，常常会牵涉到过去的概念和基础而出错，而且个人的情况差不多不太相同，所以作业本子是每本每题改的，批改时指出错误的方法是：加以启发性的问句或是评语，要求学生自己进行改正。发还本子的时候，问题较多的同学或是严重的同学则当时就给讲述错误的原因，一般的则要求发下后马上看一遍，批改中有没有不懂或是自己还不会做的，当时就要解决，在改作业中如发现了一般性的问题，也就把它作为习题可得内容之一。

4.习题课：除了上面所述答疑，质疑和批改作业时，收集一些习题内容之外，在平时听课时估计同学会在哪些部分不清楚或是接受比较困难的，则亦考虑在其中。在巡视过程中，对困难的同学多照顾些，给予启发或讲解，等大部分同学已完成，再布置一些习题。

复习大体上是这样完成的，提出讲授内容中的主要精神、关键和必须注意的地方，指出前后联系性。如罗尔定理，该定理在上学期各班已经讲过了，为了要讲中值定理和配合本学期的教材，颜先生指定同学自己再回去看看，而在同学自己的复习中，看是没有看懂，但是不能讲，而且感到乱，因而在习题课上，我先提出问题，用边问边讲的方式让同学们自己去求解，这样同学就对接受新的概念感到容易些，当然也指出了，为什么大课要这样下定义。有时对同学介绍些实际的应用或是指出以后将在什么地方用到，使他们产生对学习的兴趣，以免因抽象和不可琢磨而感到可怕。

例题我是尽量考虑说明问题而不选择难题，较难的题目要放到同学已经初步掌握一般题目的基础上举例给他们，否则只能扰乱他们的基本概念和使他们害怕。有时就利用大课所讲的例题，这样可以节省时间，同学们已复习过的内容又不必抄而只要全神贯注地听和想，讲解时要指出解题的关键，怎样引导同学转入正确的路线。如积分应用部分，先重点讲述了积分元素问题的取法，以及上下限的决定。以大课讲的求y²＋16y＋6y－71＝0及4x＋y＋7＝0所围的面积为例，图形和交点已都在大课上解决：以x或y为积分变量是意味着什么区别？以平行x轴和y轴积分变换意味着有什么区别？以平行x轴或是平行y轴的直线分割面积时，元素的变化如何？有什么区别？排出式子后再考虑和分辨怎样简单些？接着就布置类似的习题，要求以两种方法做，以马上解决其了解程度和及时巩固，等这个问题弄清楚了，那个么接下去再布置第二个单元。在复习或是做题的时候，则采取要什么补什么。如求曲率，要用到隐函数求导、参数方程求导，函数作图牵扯到解不等式，讲述台劳公式要用到高阶导数，则在习题讲述中穿插入此类内容，讲述并适当地布置些习题，尽可能的结合，明确和易于掌握的方法。

小结是告诉正确的方法和结果，每提出些错误的演算，且让同学自己来指出是什么地方错误，为什么会错误，使其印象较深。每当解题方法较多时，由做法不同的同学分别抄于黑板上，并让其能掌握较多的方法，一面提高了水平，一面又提高了兴趣。在碰到中等数学中的问题时，宁可多提，以便熟练，如对数性质，并提出易出错误之情况。如log（A＋B）是否等于log A×log B？

此外，也会对同学要求每一阶段的课程内容结束后，能做一个简单的系统的小结，有些同学执行的很好，但是还是有很多同学没有做到。

上面所写的，只是我曾经做的，也有没有做好的，这中间还存有很多的问题，如对较好的同学没做到引导他们更深一步地钻研，对一般同学的学习检查抓得不紧，就是做的那些工作也还有很多的缺点，所以班上最困难的同学现在还是感到很累，希望能得到各位先生的帮助，以搞好这个工农班，更为以后的工农同学创造条件。

（摘自《交大教学与科研》，1958年）

附：

谈谈范荣良同志的讲课艺术

范荣良同志讲高等数学，期期受到学生欢迎，关键何在？在于“善诱”两字，而善诱之功又在于精心设计思路。且举两例，以析其中奥妙。

一是讲微积分概念。这堂课如果一上来就搬出微积分定义，不仅目的不明，枯燥乏味，也难以让学生领会数学语言的深意，于是她给学生设计了一条由一连串问答组成的思路，让学生顺着“台阶”步步攀登。

问：曲边梯形一腰弯曲（非线性函数）怎样求积？

答：预积先分，细分后的小曲边梯形，可视作小块矩形。

问：用小矩形做近似替代，有何好处？

答：由直代曲，线性运算，简捷易行。

问：小矩形和式的极限何以保证与曲边梯形完全相等？

答：只要略去的部分是高阶无穷小。

问：主要部分为线性，略去的部分为高阶无穷小，只是一个设想，是否真的有可能？

师生一起演算，以圆球体积与半径为非线性为例，求出球体增量，正好是一个线性主部加上一个高阶的无穷小。

问：至此一例，不足为凭，能否作出一般证明？

师生一起推导，借助导数概念，得到一般证明。

问：那么线性部分的系数是什么？

答：刚好是函数在该点的导数！

至此，瓜熟蒂落，得出严格的微分定义，并顺藤摸瓜、扩大战果，得出“微分来自导数，导数即为微商”的结论。

范荣良老师在上课

二是讲弧微分和曲率。这堂课上课前，范荣良同志双眉紧锁，思索这样一个问题：“弧微分这个概念比较孤立，怎样启动学生的思维？”然而铃声一响，登台一讲，出来了这样的开场白：

问：同学们刚学过动力学，可知道铁路转弯处怎样接轨？

答：做一个圆弧与两轨相切即可。

问：用圆弧接轨是否安全？

答：火车在切点处突然受到一个向心力，可能翻车。

问：那么怎样改进？

答：切点处弯曲程度要小。

问：弯曲程度大小如何判定？

答：曲线上的角度变化越大，弯的越厉害。

这时候范荣良画出两根弧线，切线方向都改变300°，然而一个弧长一个短。

问：两弧切线角改变一样，弯曲程度是否一样？

答：不一样，短弧弯的更厉害。弯曲程度应该取决于单位弧长的切线角度改变量。

问：何为弧长，怎样定义？

答：用单位直线段去定义。

问：一直一曲，怎么丈量？

答：借助极限，以直代曲，先微后积，求出弧长。

范：（顺水推舟）这就是说，要求曲率，先要求得弧的微分。至此，全班学生进入了弧微分的思索。

这段引言看来有点迂回，却为初学者指出了一条自己攀登的捷径。这样的诱导虽然多了一点口舌，却使学生目的明确，全局在胸，充分领悟到概念背后的方法论。

范荣良同志讲课，经常采用这种自问自答的方法，这种自问自答正好与学生头脑中那种无声的问答共鸣，而教师分析问题的思想方法，也就在这种共鸣中，潜移默化地传授给学生，进而化为他们独立工作的才能。

创造知识可贵，传授知识同样可贵，循循诱导，让后人踏过自己的肩膀，攀上更高的高峰，这正是教师们追求终生的一门艺术。

（摘自《上海交大报》　1981年11月28日）