高等数学兴趣教学方法探讨

高等数学兴趣教学方法探讨

李战存

【摘要】本文讨论了高等数学教学中如何提高学生学习积极性的问题。提出了六种兴趣教学法，它们是:猜想式教学、贯通式教学、重点式教学、简易式教学、美学式教学、创新式教学。

【关键词】高等数学　兴趣教学法　教学质量

一、问题与认识

高等数学是我校的重要基础课(本文泛指我校所开设的所有数学课)。长期以来，教师在教学中付出了艰辛的劳动，但在教学实践中仍然困难重重，功倍事半。相当一部分学生对学习数学没有积极性，只是为了考试被迫而学;老师为学生考及格而教，其结果往往事与愿违。一部分学生只能通过补考勉强过关，有些学生因此而影响了毕业与学位证书的授予，甚至影响就业。在研究生考试中也因数学成绩不合格而淘汰者屡见不鲜。

形成这种局面，除了与近几年扩招，学生素质有所下降，与学生的学风、教学管理有关外，与我们执教者的教学理念，教学要求，教学方式，教学技巧也有关系。笔者长期从事我校的高等数学的教学工作，从自己的教学实践所获得经验与教训中领悟到，在严格执行教学任务的过程中，着力提高自己的教学技能，进行兴趣教学方法的尝试、实践，对教学质量的提高能起到较好的作用。

“兴趣是学习的母亲”。有强烈学习欲望的学生，对他所学的课程有极大的兴趣。浓厚的兴趣又激励着他们刻苦学习，掌握所学的知识，为今后的发展做准备。数学成绩好的同学也不例外，他们有理想，有抱负，对数学课有特别的爱好，听课非常专注，课后能够与教师进行有益的交流，能够主动完成作业，能够涉猎有关学习材料，其中的佼佼者还能提出某些非常深刻的问题。相反，数学成绩差的同学往往认为数学课可学可不学，上课注意力不集中，逃课，睡觉，即使人到教室、心却在课外。还有一部分学生，虽然听课认真，但苦于不能理解，听不懂课，而导致数学成绩平平，进而厌学、弃学。真可谓“成也数学，败也数学”。

学生是学习的主体，教师起引导作用。教师的主要任务是调动学生的情感，让他们在学习中学会科学地学习与思维的方法，有学习的兴趣与求知的渴望。这样，他们才能听的进，学的会，才能有效地理解，巩固和运用所学的知识，进而促进他们主动学习的兴趣，提高学习水平。

二、方法与实践

提高学生听数学的兴趣是保证教学效果好的关键。作为施教者应当想方设法在自己授课的过程中形成若干个兴奋点(一节课或一门课)，使我们的学生从难懂、抽象的困境中摆脱出来，让他们逐步地感到数学的有趣性、有用性、严谨性与科学性。让他们在潜移默化中受到逻辑思维与推理能力的训练，无声无息中提高自己的学养和素质，逐渐养成对数学的喜爱，最终为学好数学、用好数学而努力。

为此，本文就实践猜想式教学、贯通式教学、重点式教学、简易式教学、美学式教学、创新式教学这几个方面，谈一点粗浅的体会，与大家共同探讨。

1．贯穿猜想式教学。在讲解一些数学定理与公式的时候，不急于给出结论，鼓励学生积极思维，按照数学先辈的思路，引导他们主动地思考出结果来。

例如:对满足一定条件的函数，极值点必为驻点这一结论的陈述。先让学生从几何直观上思考这一事实。然后引导他们认识到在极值处应该有一条水平切线，再进一步得出著名的费玛引理。又如，讲解介值定理与不动点定理时，先画出满足相应条件的连续函数的图形，让学生从直观上观察出结论来，然后再用数学语言加以表述。这样，这个比较抽象的定理便很快被学生掌握了。再如，在讲“牛顿─莱布尼茨”公式时，给学生两道题;一是已知路程函数与时间间隔，求质点的位移;二是已知速度函数与时间间隔求质点的位移(还有很多类似的题目)然后问到:“如果上述路程函数与速度函数是同一质点运动规律的描述，应该有什么结论”大多数同学会异口同声地得出著名的“牛顿—莱布尼兹”公式。接着再用曲边梯形的面积加以验证他们的猜想。以这种方式去教学，同学们既体会了发现数学真理的乐趣，又以很短时间迅速掌握本节课的主要内容，同时为他们探索如何把这一认识变为一般结论给出证明，由此引起同学们极大的兴趣，为他们听好这些定理的证明做了好的开头。用现在时髦的话讲，让学生体验了一次实际的数学建模的过程。这种做法，笔者已经实践二十多年，效果良好。

2．实践贯通式教学。长期以来，我国高等数学的教材受前苏联数学教材的影响很深。尽管，近几年有所改变，但还是条块分明，讲代数的只讲代数，不考虑几何与微积分的内容。学生学起来感到枯噪乏味，因而丧失了学数学的积极性。贯通式教学是指打破数学各门课程的界限，打破初等内容与高等内容的界限，让学生迅速地抓住要学内容的核心概念与本质，由已知认识未知，由具体洞察一般，对所学新知识有认同感、亲切感，达到由表及里，由浅入深的目的。简言之，贯通式教学就是触类旁通，融会贯通的教学方法。

例如:讲解微积分多元函数极值的充分性判定条件时，由于证明比较繁锁，教师们大都只讲定理的条件与结论，然后教会应用了事。很少有人去严格证明(包括数学专业)。笔者认为，在讲这个定理时，如果能够给学生指出，它的判定与线性代数(或与高等代数)中的二次型的正定性与负定性的判定有关。然后，用泰勒公式，把极值的判定问题转化为二次型的有定性判定问题。这样，学生能很快理解证明的思路，达到了化繁为简得目的。这不仅为他们今后学习有关课程作了准备，也为他们想知道三元，乃至n元函数取得极值的充分条件提供了猜想的余地。或者，如果在讲二次型理论时，能够指出它与求证函数的极值密切相关(微积分，优化的内容)，学生就会知道学习这些内容的原因，从而具有某种相知感，扫去他们认为学代数课抽象，难理解的畏惧心理。又如，讲微分学中的导数，把它与初等数学的除法联系，讲积分学中的定积分，把它与乘法相联系，使学生一下缩短了初等数学与高等数学的距离，使他们了解到微分学解决了初等数学中“除”所不能解决的问题，把“商”发展至“微商”─微观世界的除法:积分解决了初等数学中“乘”所不能解决的问题，把“乘法”延伸到“微积”─微观世界的乘法。进一步，同学们便会较好地领悟到微分与积分互为逆运算这一事实，而且较能自如地应用这些模型解决实际问题。再如讲实变函数的可测集与可测空间上可测函数时，指明它就是概率空间中的随机事件与随机变量;讲测度时，顺便点出它与概率相对应，让学生在学习这两门平行课时弄清出实变函数论与概率论的联系，达到相得益彰，互相理解的目的，起到降低难度，提高效率的作用。从而使学生有了学好这两门课程，进一步探索这两门课的不同之处的兴趣。

3．强调重点式教学。重点是指所讲的核心内容，每堂课都应有重点，教学应当突出重点。这样才能有效地吸引学生的注意力，保证教学质量。

例如，在讲解工科高等数学中多元复合函数的求导法则这一节中，教材反映了六点内容:一、中间变量是一元函数的情形，二、中间变量是多元函数的情形，三、中间变量既有一元又有多元函数的情形，四、中间变量又是自变量的情形，五、多元复合函数的高阶偏导数，六、全微分形势不变性。如果平铺直叙这六种情况，学生学完后不得要领，不堪重负。教学任务也不能如期完成，教、学两者都很辛苦。本人在讲授中，突出第一点的条件、结论的阐述、强化它的证明，以次为重点，作为突破口，使学生较好的理解第一点。然后，迅速指出其他三点应该是第一点的特殊情况。而后两点是它的应用。这样学生既弄清这四种不同情形的链式规则，也明白了它们之间的联系，还顺道克服了复合函数求高价偏导的难点。

再者，在讲复合函数链式规则的条件时，在定理的叙述中，将原定理中外函数有连续偏导数的条件减弱为可微的条件。这样做，一是凸显了全微分的理论的作用，使得这节的内容与上节的内容紧密联系，同时为全微分应用于链式规则的证明铺平了道路;二是扩大了定理的使用面，也便于同学们找出与一元复合函数链式规则的相同点。在定理的实际证明过程中，先写出主干的证明过程，突出主要思想，在理解好主干的前提下，视学生接受的情况，再对个别细节加以补充。按这种安排，这节课顺利地完成了教学任务，还留下了一定的练习时间，提高了教学效率。

突出重点，就是主次分明，纲举目张;突出重点，就是抓主要矛盾，讲清思路。教学中应当努力实践这一点。

4．力行简易式教学。追求简易是中华传统文化的一个重复特色。关于“简易”，《周易》有如下论述:“易则易知，简则易从。易知则有亲，易从则有功。有亲则可久，有功则可大。可久则贤人之德，可达则贤人之业。”这段话的大意是，科学原理要容易为人们所理解，研究方法要容易为人们所掌握。易于理解就会使人亲近，易于掌握就能收到功效。有人亲近就会持久，收到功效就能壮大。因此，追求简易是科学工作者的重要品德，也是我们数学教育者所应具备的素质。我们在教学实践中应当刻意去实践这一要求。数学家笛卡尔曾指出:“不可以从庞大暧昧的事物中，只可以从最容易碰见的事物中演绎出最隐秘的真知本身。”例如，讲矩阵的初等变换，先讲清一个三元一次方程组的消元法，然后引出初等变化的概念。讲逆矩阵的概念时，由一元一次方程的解法开始。这样学生就能够结合中学的知识很快亲近这些比较抽象的东西。讲逆矩阵秩的概念时力求用最直白、最简单的语言解释这一抽象概念，而化解难点。讲线性空间;线性变换，先从讲几何空间、旋转变换入手，从线性方程组的解空间开始，从中抽象出本质的东西，然后给出一般的定义与性质，达到以简驭繁，顺理成章的目的。正如老子所讲“天下之难作与易，天下之大作与细。”

5．体现美学式教学。听数学课，首先是一个视听过程，其次是一个逻辑推理，揭示数学美的过程。与看电影相比，尤如同时在看风景片、音乐片、侦探片和艺术片。一部好的影片，应该是风景优美、音乐动听、推理缜密，只有这样，才能给人留下深刻的映像。同样，一堂好的数学课除了有整齐、恰当、规范的版书，流利清晰、语速适中的表达;除了把知识点讲清，讲明，讲透，同时善于把握重点，讲解难点，澄清疑点，在此基础上还应当向学生展示高等数学的美，从而激发学生的学习热情，活跃课堂气氛，增强吸引力，加强理解。例如微积分教学中讲极限可以加进去体现意境美的话语“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”;讲无界变量时，讲“魔高一尺，道高一丈”体现动态之美;讲连续函数与间断函数时，体现和谐美与奇异美;讲导数时，体现局部线性之美;讲积分时体现宏观上的统一之美;讲“ε～δ”语言与有限覆盖定理时体现用有限研究无限的思辨之美;讲球坐标变换时，球体与长方体的对立统一之美，等等。

总之数学理论体现了真与美的结合，数学教育者在自身的实践中要努力地去体现它，发现它。这样，才能更好地吸引学生的注意力，培养他们对数学的兴趣。

6．适施创新式教学。数学教育是培养人，促进受教育者心智发展的过程。培养学生不仅是要求他们作为数学知识的传承者，而且能够使他们适应形势的发展要求，成为具备一定创新能力的新型人才。教师在教学授课过程中应该注意培养和激发学生的创造意识，注重思维的训练和创造性思维的培养。讲课要力戒照本宣科，要“讲”而不是“唸”，要给学生“点石成金的指头”。例如，本人如果发现教材中有不足或错误时，总是要补充完整或请同学找出错误，加以分析、改正，寓创新能力的培养于点滴之中。同时，结合新的科研成果，适时融入授课内容之中，使学生了解新的结果，探索其中的数学思想与观念，为他们的创新意识的培养开阔眼界，拓宽思路，提供养料。再如，在猜想式教学中提到的由学生猜出“牛顿—莱布尼茨”公式这一过程，就是让他们对已知的结论重新“发明”一遍。诚然，这样的“发明”不是新的，但对学生却是全新的。这样的教学过程既能使学生理解知识的核心思想，有能使学生经历一次发明创造的训练。

有位数学前辈讲:“如果我们能够把数学课讲得像说相声一样，那我们的课就讲成功了。”这句话非常深刻，他没有讲如何具体讲课，但却用形象的语言，给我们教师提出了上好数学课的兴趣教学法的要求和目标，作为数学教育者，我们应当向这个目标不懈地努力。

参考文献

［1］卢刚．线性代数．高等教育出版社，2003．

［2］同济大学应运数学系主编．高等数学．高等教育出版社，2003．

［3］匡继昌．实分析与泛函分析．高等教育出版社，2003．

［4］王能超．计算方法简明教程．高等教育出版社，2003．